26
2. fejezet - ELEKTROSZTATIKA I. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR VÁKUMBAN
Az I. fejezetben a tapasztalatból kiindulva megfogalmaztuk azokat az alaptörvényeket, amelyek az elektromos és mágneses jelenségek fizikai
sajátságait írják le. Ezek ismeretében a jelenségek igen széles köre tárgyalható elméleti úton. A következő fejezetekben végigmegyünk az
egész elektrodinamikán, és a legfontosabb jelenségeken megmutatjuk a Maxwell-elmélet alkalmazását, miközben új ismereteket szerzünk az
elektromágnesség területén.
Először az elektrosztatikus térrel foglalkozunk. Ezen a nyugvó töltések időben állandó elektromos terét értjük. Alapegyenleteit a Maxwell-
egyenletekből kapjuk a következő feltételek figyelembevételével:
1. minden fizikai mennyiség állandó az időben;
2. a töltések nem mozognak, tehát
v = 0; továbbá nincs áram: j = 0.
A Maxwell-egyenletek és a határfeltételek ezekkel a feltételekkel a következő alakot öltik:
Látható, hogy sztatikus tér esetén a Maxwell-egyenletek két egymástól független egyenletrendszerre esnek szét. Egyik az elektromos, másik a
mágneses tér tulajdonságait írja le.
A következőkben a vákuumbeli elektrosztatikus térrel foglalkozunk. Vákuumban ε = 1, ezért
D = E.
Az elektrosztatikus tér potenciálja
A sztatikai teret leíró alapegyenletek:
((10,1). egyenlet);
ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
27
((10,2). egyenlet).
Az elektrosztatika alapfeladata: megadott
töltéseloszlás
E(r) elektrosztatikus terét kell meghatározni a tér minden pontjában.
A (10,1) egyenlet szavakkal kifejezve azt jelenti, hogy az elektrosztatikus tér rotációmentes: a térerősségvektor rotációja minden pontban eltűnik. A
matematikából ismeretes, hogy a rotációmentes vektorterek skalártérből származtathatók. A (10,1) egyenlet ugyanis kielégül, ha az
E térerősséget
egy
skalár függvény gradienseként írjuk fel:
((10,3). egyenlet).
(10,3) a (10,1) egyenlet általános megoldása. Jelentése a következő: ha a
skalárt ismerjük minden pontban, akkor a térerősséget (10,3)
alapján egyszerűen gradiensképzéssel kapjuk. Feladatunkat tehát visszavezettük a Φ skalártér meghatározására. Φ-t a sztatikus tér potenciáljának
nevezzük.
A térerősség (10,3) kifejezését írjuk be a (10,2) egyenletbe:
((10,4). egyenlet).
Mivel
,
a
skalártér meghatározására szolgáló (10,4) egyenlet a következő alakot veszi fel:
((10,5). egyenlet).
(10,5) az elektrosztatikus potenciál Poisson-egyenlete. Adott
töltéseloszlás sztatikus potenciálját a (10,5) megoldásával kapjuk.
A térerősségre vonatkozó határfeltételek is felírhatók a Φ potenciál segítségével:
((10,6). egyenlet);
((10,7). egyenlet).
ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
28
Az elektrosztatikus tér Φ potenciáljának konkrét fizikai jelentése van. E célból számítsuk ki azt a munkát, amelyet a tér végez, amikor a pozitív
egységnyi elektromos töltést elmozgatja a tér A pontjából a B-be (16. ábra):
((10,8). egyenlet).
16. ábra -
A végzett munka tehát az
út végpontjaiban érvényes potenciálok különbségével egyenlő. (10,3)-ból következik, hogy az
E elektromos térerősség
és a Φ potenciál közötti kapcsolat egy konstans erejéig meghatározott. Ugyanis Φ-hez tetszőleges konstans hozzáadható anélkül, hogy
E
megváltozna. Ez lehetőséget ad arra, hogy a sztatikus potenciál értékét egy pontban tetszés szerint megválasszuk. Az elméleti fizikában a potenciál
végtelen távoli pontban felvett értékét zérusnak választjuk:
. (Technikai problémáknál általában a Föld potenciálját választjuk zérusnak.)
Miután a potenciál végtelenben felvett értékét így előírtuk, nemcsak a potenciálkülönbségnek, hanem magának a potenciálnak is van konkrét fizikai
jelentése: Φ( P) az a munka, amelyet az elektrosztatikus tér végez, amikor a pozitív egységnyi töltést a P pontból a végtelenbe mozgatja.
A (10,8) összefüggésből az is látszik, hogy a sztatikus tér munkája független az úttól; a kezdő- és végállapot egyértelműen meghatározza. Az
elektrosztatikus tér tehát konzervatív.
A ponttöltés elektrosztatikus tere
Gondoljunk el pontszerű pozitív e elektromos töltést, amely a vonatkoztatási rendszerül választott derékszögű koordináta-rendszer origójában
nyugszik. Határozzuk meg az általa keltett elektrosztatikus teret. Az előző pontban mondottak szerint előbb a tér potenciálját határozzuk meg.
Keressük tehát a Φ potenciál értékét a tér valamely P pontjában. Az ( x, y, z) koordinátájú P pont helyét az
r = r{ x, y, z) helyzetvektorral jellemezzük
(17. ábra). A potenciál meghatározására a (10,5) Poisson-egyenlet szolgál. A ponttöltésen (tehát az origón) kívül az egyenlet jobb oldala zérus. A
megoldandó egyenlet tehát:
((11,1). egyenlet).
ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
29
17. ábra -
Az origóban nyugvó ponttöltés potenciáltere gömbszimmetrikus, a Φ potenciál tehát csak az origótól mért r távolságtól függ. Ezért célszerű a (11,1)
egyenletet polárkoordinátákban felírni. Mivel 0 nem függ a polárszögektől, (11,1) polár- koordinátákban a következő alakot veszi fel:
((11,2). egyenlet).
Vezessük be a
függvényt. A (11,2) egyenlet Ψ-re a következő egyszerű alakba írható:
((11,3). egyenlet).
Ennek az egyenletnek megoldása:
((11,4). egyenlet),
ahol A és B meghatározandó állandók. (11,4)-ből a Φ potenciálra a következő kifejezést kapjuk:
((11,5). egyenlet).
Az előző pontban a potenciált úgy normáltuk, hogy az
-ben eltűnik. Ebből következik, hogy az A konstans értéke zérus:
A = 0.
Dostları ilə paylaş: |