A
MAXWELL-EGYENLETEK
11
Legyen a
P
1
P
2
szakasz hossza
l, a vezető keresztmetszete pedig
q. Az Ohm-törvény szerint a vezetőben folyó áram
I intenzitása arányos a
ΔΦ
potenciálkülönbséggel és a
q keresztmetszettel, fordítva arányos
a szakasz l hosszával:
((5,4). egyenlet).
13. ábra -
A
σ arányossági tényező a vezető anyagára jellemző mennyiség; neve
vezetőképesség. Az
mennyiséget a vezetőszakasz
ellenállásának
nevezzük és
R-rel jelöljük:
((5,5). egyenlet).
Ennek alapján az (5,4) Ohm-törvény a következő megszokottabb formában írható:
((5,6). egyenlet).
Az (5,4) és (5,6) integrális összefüggés, nevezetesen: a vezető két különböző pontja közötti mennyiségekkel fejezi ki az áram erősségét. Az elméleti
fizikában inkább a differenciális összefüggéseket használjuk, amelyek a tér egy pontjában érvényes mennyiségek között állapítanak meg kapcsolatot.
Ezért az (5,4) integrális Ohm-törvényt most átírjuk differenciális alakba. E célból az (5,4) mindkét oldalát elosztjuk a
q keresztmetszettel:
((5,7). egyenlet).
Végezzük el ebben az egyenletben az
l → 0 határátmenetet, ami annak felel meg, hogy a
P
2
ponttal közeledünk a
P
1
-hez. Ekkor (5,7)-ből a következő
egyenletet kapjuk:
A MAXWELL-EGYENLETEK
12
((5,7
''). egyenlet).
Ez az egyenlet már egy pontban érvényes mennyiségek között teremt kapcsolatot. Mivel az Ohm-törvény a vezető tetszőleges szakaszára igaz, a
P
1
indexet el is hagyhatjuk, és az összefüggés a vezető bármely pontjára igaz lesz:
((5,8). egyenlet).
ΔΦ-t az egységnyi pozitív töltés
P
1
-től
P
2
-ig történő mozgatásakor végzett munkával definiáltuk. Ez a munka az
F =
eE erőképlet alapján a következő
szakasz menti integrállal egyezik meg:
((5,9). egyenlet).
Ebből
arra következtethetünk, hogy a
Φ potenciál és az
E elektromos térerősség között fennáll az
((5,10). egyenlet)
összefüggés.
2
Ezt (5,8)-ba helyettesítve kapjuk:
((5,11). egyenlet).
Mivel az áram iránya a pozitív töltés mozgásirányával, tehát
E irányával
egyezik meg, az abszolútérték-jeleket elhagyhatjuk:
((5,12). egyenlet).
Ez az egyenlet fejezi ki az Ohm-törvényt differenciális alakban. Jelentése a következő: az áramsűrűség a vezető bármely pontjában arányos az
elektromos térerősséggel, az arányossági tényező a
σ vezetőképesség.
σ általában függhet a helytől és a hőmérséklettől: homogén vezetőknél
értéke állandó.
Az (5,2), (5,3) (5,12) egyenleteket, mivel a közegre jellemző
ε,
μ,
σ anyagi együtthatókat tartalmazzák,
anyagi egyenleteknek nevezzük. Az (5,1)
Maxwell-egyenletek ezekkel kiegészítve írják le az elektromágneses tér fizikai sajátságait.
2
A későbbiekben látni fogjuk, hogy ez következik a Maxwell-egyenletekből. Itt azonban nem akartunk még erre hivatkozni, hanem a potenciálkülönbség kísérleti fizikából jól ismert definícióját
használtuk, és ennek alapján jutottunk el (5,10)-hez.