Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

A MAXWELL-EGYENLETEK
11
Legyen a P
1
P
2
 szakasz hossza l, a vezető keresztmetszete pedig q. Az Ohm-törvény szerint a vezetőben folyó áram I intenzitása arányos a ΔΦ
potenciálkülönbséggel és a q keresztmetszettel, fordítva arányos a szakasz l hosszával:
 ((5,4). egyenlet).
13. ábra -
A  σ  arányossági  tényező  a  vezető  anyagára  jellemző  mennyiség;  neve  vezetőképesség.  Az 
  mennyiséget  a  vezetőszakasz  ellenállásának
nevezzük és R-rel jelöljük:
 ((5,5). egyenlet).
Ennek alapján az (5,4) Ohm-törvény a következő megszokottabb formában írható:
 ((5,6). egyenlet).
Az (5,4) és (5,6) integrális összefüggés, nevezetesen: a vezető két különböző pontja közötti mennyiségekkel fejezi ki az áram erősségét. Az elméleti
fizikában inkább a differenciális összefüggéseket használjuk, amelyek a tér egy pontjában érvényes mennyiségek között állapítanak meg kapcsolatot.
Ezért az (5,4) integrális Ohm-törvényt most átírjuk differenciális alakba. E célból az (5,4) mindkét oldalát elosztjuk a q keresztmetszettel:
 ((5,7). egyenlet).
Végezzük el ebben az egyenletben az l → 0 határátmenetet, ami annak felel meg, hogy a P
2
 ponttal közeledünk a P
1
-hez. Ekkor (5,7)-ből a következő
egyenletet kapjuk:

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
12
 ((5,7''). egyenlet).
Ez az egyenlet már egy pontban érvényes mennyiségek között teremt kapcsolatot. Mivel az Ohm-törvény a vezető tetszőleges szakaszára igaz, a
P
1
 indexet el is hagyhatjuk, és az összefüggés a vezető bármely pontjára igaz lesz:
 ((5,8). egyenlet).
ΔΦ-t az egységnyi pozitív töltés P
1
-től P
2
-ig történő mozgatásakor végzett munkával definiáltuk. Ez a munka az 
F = eE erőképlet alapján a következő
szakasz menti integrállal egyezik meg:
 ((5,9). egyenlet).
Ebből arra következtethetünk, hogy a Φ potenciál és az 
E elektromos térerősség között fennáll az
 ((5,10). egyenlet)
összefüggés.
2
 Ezt (5,8)-ba helyettesítve kapjuk:
 ((5,11). egyenlet).
Mivel az áram iránya a pozitív töltés mozgásirányával, tehát 
E irányával egyezik meg, az abszolútérték-jeleket elhagyhatjuk:
 ((5,12). egyenlet).
Ez az egyenlet fejezi ki az Ohm-törvényt differenciális alakban. Jelentése a következő: az áramsűrűség a vezető bármely pontjában arányos az
elektromos térerősséggel, az arányossági tényező a σ vezetőképesség. σ általában függhet a helytől és a hőmérséklettől: homogén vezetőknél
értéke állandó.
Az (5,2), (5,3) (5,12) egyenleteket, mivel a közegre jellemző ε, μ, σ anyagi együtthatókat tartalmazzák, anyagi egyenleteknek nevezzük. Az (5,1)
Maxwell-egyenletek ezekkel kiegészítve írják le az elektromágneses tér fizikai sajátságait.
2
 A későbbiekben látni fogjuk, hogy ez következik a Maxwell-egyenletekből. Itt azonban nem akartunk még erre hivatkozni, hanem a potenciálkülönbség kísérleti fizikából jól ismert definícióját
használtuk, és ennek alapján jutottunk el (5,10)-hez.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
13
Határfeltételek
A  Maxwell-egyenleteket  a  tapasztalatból  nyert  integrális  összefüggésekből  vezettük  le  a  Stokes-,  illetve  a  Gauss–Osztrogradszkij-tétel
alkalmazásával. Ezeknél a matematikai tételeknél fel kell tételeznünk, hogy az integranduszban szereplő függvények folytonosak az egész integrációs
tartományban. Következésképpen a Maxwell-egyenletek olyan térrészben érvényesek, ahol a bennük szereplő térmennyiségek – térerősségek és
indukcióvektorok – folytonosak. Ez az eset áll fenn akkor, ha a tekintetbe vett tartományt egységes közeg tölti ki. Két különböző közeg határfelületén
az  anyagra  jellemző  ε,  μ,  σ  mennyiségek  ugrásszerűen  változnak.  Ennélfogva,  az  anyagi  egyenletek  alapján,  a  különböző  közegek  határán  a
térmennyiségeknek  is  szakadásuk  van.  Ezért  a  Maxwell-egyenletek  az  integrális  összefüggésekből  az  egységes  anyaggal  kitöltött  térrészekre
vezethetők le. A különböző közegekre felírt Maxwell-egyenletek megoldásait az érintkező közegek határfelületén egymáshoz kell illesztenünk. Ehhez
ismernünk kell azokat a törvényeket, amelyek megmondják, hogyan változnak a térmennyiségek két különböző közeg határán. A következőkben
ezeket az ún. határfeltételi egyenleteket határozzuk meg.
Határfeltétel az elektromos indukcióvektor normális komponensére (D
n
)
Tekintsünk egymással érintkező két különböző közeget. A megfelelő dielektromos együtthatókat jelöljük ε
1
-gyel, ill. ε
2
-vel. A határon vegyünk fel egy
F felületet, amely speciálisan legyen töltött vezető. A rajta levő e elektromos töltést az η felületi töltéssűrűség F-re vett integrálja adja:
 ((6,1). egyenlet).
Az F felület mindkét oldalán, tőle h távolságban vegyünk fel egy-egy olyan felületet, amely F alakját követi (14. ábra). Ezeket jelöljük F
1
-gyel, ill. F
2
-
vel. F
1
 és F
2 
határvonalát kössük össze egy P palástszerű felülettel. Így olyan zárt térfogatot kaptunk, amelyet az F
1
 és F
2
 felület, valamint a P palást
határol. Alkalmazzuk erre a térfogatra az (1,3a) egyenletet:
 ((6,2). egyenlet).
14. ábra -
Végezzük most el a h → 0 határátmenetet. Ekkor az F
1
 és az F
2
 felület az F felülethez, a P palást pedig zérushoz tart. Mivel a bal oldal harmadik
integráljában az integrandusz korlátos, az integrációs tartomány pedig zérushoz tart, a palástra vett integrál a fenti határátmenetben eltűnik:

---