Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
43
 ((16,5). egyenlet).
Itt mindkét felületi integrálban E
n
 a térerősség kifelé mutató normális irányú komponense. Ha az F' felületet kitoljuk a végtelenbe, az első (F'-re vett)
integrál eltűnik. Ugyanis a végtelenben az F vezető tere úgy viselkedik, mint a pontszerű töltésé, tehát Φ úgy tart zérushoz, mint  , a térerősség
pedig úgy, mint  . Az integrandusz tehát   szerint viselkedik. A felületelem r
2
 szerint tart végtelenhez, ezért az egész integrál úgy tart a zérushoz,
mint  . A vezető felületére vett második integrálban E
n
 helyére (13,4) alapján 4πη írható. Tehát:
.
Mivel a Φ potenciál a vezető felületén állandó, kiemelhető az integrál elé:
 ((16,6). egyenlet).
A potenciál és a vezető kapacitása közötti (16,1) összefüggés alapján (16,6) a következőképpen is írható:
 ((16,7). egyenlet).
Eszerint a töltött vezetők által keltett elektrosztatikus tér energiáját a vezető töltése és kapacitása a (16,7) egyszerű összefüggés szerint határozza
meg.
Az itt követett gondolatmenet könnyen általánosítható arra az esetre, ha a térben több töltött vezető van jelen. Ekkor a tér energiája:
 ((16,8). egyenlet),
ahol e
k
 és Φ
k
 a k-adik vezető töltése, ill. potenciálja, az összegezés pedig a jelen levő vezetőkre történik. N a vezetők számát jelenti.
A k-adik vezető Φ
k
 potenciálja most nemcsak az e
k
 töltéstől függ, hanem a többi vezető e
i
 töltésétől is. Mivel a töltések összegének potenciálja az
egyes töltések potenciáljainak összegével egyenlő, Φ
k
 lineárisan függ e
i
-től:

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
44
 ((16,9). egyenlet).
Az a
ki
 együtthatók a vezetők egymáshoz viszonyított helyzeteitől függnek. Ha η
i
 helyett bevezetjük az i-edik vezető egységnyi töltéseloszlását leíró
η'
i
 sűrűségfüggvényt az
 ((16,10). egyenlet)
képlet alapján, akkor a potenciálra vonatkozó (12,6) általános képletből következik:
 ((16,10). egyenlet).
r
ki
 az i-edik vezető integrációs felületelemének a k-adik vezető valamely rögzített pontjától mért távolságát jelenti.
Ha a (16,9) egyenleteket a töltésekre megoldjuk, akkor a vezetők e
i
 töltéseit a Φ
k
 potenciálok lineáris kifejezéseként kapjuk:
 ((16,11). egyenlet).
C
ik
 = D
ik
/D, ahol D a (16,9) egyenletben szereplő együtthatók determinánsa, D
ik
 pedig az a
i
 elemhez tartozó aldetermináns.
Az  a
ik
  együtthatókat  potenciál-együtthatóknak,  a  C
ik
  együtthatókat  pedig  kapacitás-együtthatóknak  vagy  az  i-edik  és  k-adik  vezető  kölcsönös
kapacitásának nevezzük. Segítségükkel a vezetők rendszerének elektrosztatikus energiáját (16,8), (16,9) és (16,11) alapján a következőképpen
fejezhetjük ki:
 ((16,12). egyenlet).
Mivel az U energia állapotfüggvény (a rendszer feltöltéseinél végzett munka független az egyes részfolyamatok egymás utáni sorrendjétől), az a
ik
és C
ik
 együtthatók szimmetrikusak:
 ((16,13). egyenlet).
A C
ii
 együttható az i-edik vezető kapacitása.
Az  a
ik
  és  C
ik
  együtthatók  elméleti  meghatározása  általában  bonyolult  matematikai  feladat.  Megoldása  csak  egyszerűbb  esetekben  lehetséges.
Általában közelítéssel kell megelégednünk, vagy kísérleti úton határozzuk meg az együtthatókat.

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
45
Kondenzátor
Tekintsünk egymás közelében levő két töltött vezetőt, amelyek közül egyiknek +e, a másiknak –e a töltése. Az ilyen vezetőrendszert nevezzük
kondenzátornak. A kettős végtelen vezető sík idealizált példáján láttuk, hogy a tér a két vezető közé sűrűsödik, és a vezetők környezetére korlátozódik.
Az erővonalak a +e töltésű vezetőből indulnak ki, és a –e töltésűbe torkollanak. A vezető lapokat a kondenzátor fegyverzeteinek nevezzük. Az egyik
potenciálja legyen Φ
1
, a másiké Φ
2
. A két fegyverzet közötti potenciálkülönbség:
 ((17,1). egyenlet).
A kondenzátor kapacitásán a pozitív töltésű fegyverzet töltésének és a (Φ
1
 – Φ
2
) potenciálkülönbségnek a hányadosát értjük:
 ((17,2). egyenlet).
Példaként  tekintsük  a  síkkondenzátort  és  a  gömbkondenzátort.  Előbb  a  síkkondenzátorral  foglalkozunk.  Síkkondenzátornál  a  két  fegyverzet
egymástól kis d távolságra levő töltött síklap (26. ábra). Ha d kicsi a fegyverzetek méreteihez képest, akkor a 15. pont eredményeit használhatjuk.
Eszerint a fegyverzetek közötti potenciálkülönbséget (15,1) alapján a következő képlet adja:
 ((17,3). egyenlet).
26. ábra -
A síkkondenzátor kapacitása tehát:

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
46
 ((17,4). egyenlet).
Ha az egyik fegyverzet felületét F-fel jelöljük, akkor a homogén töltéseloszlás miatt e = ηF. Ezt (17,4)-be helyettesítve kapjuk, hogy
 ((17,5). egyenlet).
A síkkondenzátor kapacitása tehát annál nagyobb, minél nagyobb a fegyverzetek felülete, és minél kisebb a közöttük levő d távolság.
Gömbkondenzátoron két koncentrikus töltött vezető gömböt értünk. A belső gömb sugara legyen R
1
, töltése +e; a külső gömbé R
2
, töltése –e (27.
ábra). A fegyverzetek közötti potenciálkülönbséget (17,1)-ből (14,6) felhasználásával kapjuk:
 ((17,6). egyenlet)
(Itt az integrálást a sugárirányú vonal mentén végeztük el.)
27. ábra -
A gömbkondenzátor kapacitása (17,2) és (17,6) alapján tehát:
 ((17,7). egyenlet).
(17,7) -ből látszik, hogy a gömbkondenzátor kapacitása a belső gömb R
1
 kapacitásának R
2
/(R
2
 – R
1
)-szerese. Mivel R
2
 – R
1
 általában kicsi, ez a
tényező nagyon jelentős. Ezért kondenzátorokon adott potenciálkülönbség esetén tekintélyes töltésmennyiség halmozható fel.

---