Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
38
Ha a P pont a gömbön belül van (a < R), akkor az első négyzetgyök értéke R – a és így 
:
 ((14,5). egyenlet).
(14,4)-ből látszik, hogy a gömbön kívüli pontban a potenciál olyan, mintha a teljes e töltés a gömb középpontjába lenne egyesítve; (14,5) pedig –
az előző pontban mondottakkal megegyezésben – azt jelenti, hogy a gömbön belül a potenciál állandó. A gömb felszínén a potenciál megegyezik
a belső potenciállal (lásd 22. ábra):
 ((14,6). egyenlet).
22. ábra -
A töltött vezető felületén való áthaladáskor a potenciál folytonosan változik.
(14,4)-ből és (14,5)-ből következik, hogy a gömbön kívül az elektromos térerősség sugárirányú, és nagysága:
 ((14,7). egyenlet)
a gömbön belül pedig zérus, miként az az előzőek alapján várható is volt.
Töltött végtelen vezető sík elektrosztatikus tere
Tekintsünk egy, az x tengelyre merőlegesen origóban elhelyezett, töltött végtelen vezető síkot. Az η felületi töltéssűrűség szimmetria folytán itt is
állandó. A potenciált most a Poisson-egyenlet megoldásával határozzuk meg. Φ a vezető síkon kívül kielégíti a

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
39
 ((15,1). egyenlet)
egyenletet. Természetesnek látszik az a feltevés, hogy az elektrosztatikus tér a vezető lap mindkét oldalán az x = 0 síkra szimmetrikusan ugyanaz.
Ezért Φ csak az  -től függ. Így a (15,1) egyenlet megoldása:
 ((15,2). egyenlet).
A térerősséget ebből gradiensképzéssel kapjuk:
 ((15,3). egyenlet)
Mivel a állandó, a térerősség homogén, és mindkét oldalon ugyanakkora abszolút értékű. Az a állandó értékét az x = 0 helyen érvényes
 ((15,4). egyenlet)
határfeltételből határozzuk meg:
 ((15,5). egyenlet).
A (15,4) és a (15,5) egyenlet egybevetéséből kapjuk:
 ((15,6). egyenlet).
A teret leíró Φ potenciál tehát (lásd 23. ábra):
 ((15,7). egyenlet);
a térerősség pedig:
 ((15,8). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
40
23. ábra -
Módosítsuk a feladatot olyképpen, hogy az előbbi töltött vezető sík mellé, tőle d távolságra másik vezető síkot helyezünk, amelynek töltéssűrűsége
–η. Határozzuk meg a két töltött végtelen vezető sík elektrosztatikus terét. A második sík által keltett tér potenciálja az előbbiek szerint:
 ((15,9). egyenlet).
Az alapegyenletek linearitásából következik, hogy az eredő tér potenciálja (15,7) és (15,9) összege:
 ((15,10). egyenlet).
(15,l0) alapján meghatározható az elektrosztatikus tér a vezető síkok által elválasztott térrészekben:
 ((15,11). egyenlet)
A második sík jelentősen megváltoztatta az előbbi teret. Nevezetesen: az elektrosztatikus tér most csak a két lap közötti 
 tartományban
különbözik zérustól. Itt a térerősség homogén, a lapokra merőleges, és abszolút értéke az előbbinek kétszerese. Az erővonalak a pozitív töltésű
lapból kiinduló, az x tengellyel párhuzamos egyenesek. Az így meghatározott tér végtelen vezető síkok esetén igaz csak. Véges síkok esetében
a lapok végeinél a tér már nem homogén. Eredményeink azonban jó közelítéssel használhatók olyan valóságos problémáknál is, amikor a két lap
egymástól való d távolsága kicsi a lapok méreteihez képest (pl. síkkondenzátornál, 24. ábra).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
41
24. ábra -
Kapacitás. Vezetők által keltett sztatikus tér energiája
Ha  a  térben  egyetlen  vezető  van,  vagy  a  többi  vezető  tőle  olyan  messze  helyezkedik  el,  hogy  a  tekintett  vezető  felületi  töltéseloszlását  nem
befolyásolják (elméletileg végtelen távol vannak), akkor a vezető által keltett tér potenciálját kizárólag a rajta levő töltés és annak alakja határozza
meg. A vezető potenciálját ebben az esetben az e töltésének és a vezető alakjától függő C állandónak a hányadosa adja meg:
 ((16,1). egyenlet).
A vezetőre jellemző C állandót a vezető kapacitásának nevezzük. A C kapacitás határozza meg tehát azt, hogy adott e töltés esetén mekkora a
vezető potenciálja, vagy hogy adott potenciál mellett mekkora töltés vihető a vezetőre. (16,l)-ből látszik, hogy nagy kapacitású vezetőre kis potenciál
esetén is nagy mennyiségű töltés vihető. Mivel a vezető potenciálja a belsejében érvényes állandó Φ
b
 potenciállal megegyezik, a vezető Φ potenciálja
helyébe egyúttal a Φ
b
 belső potenciál helyettesíthető.
(14,6)-ból látszik, hogy vezető gömb kapacitása a gömb sugarával egyenlő:
 ((16,2). egyenlet).
Az elméleti fizikában használatos CGS egységrendszerben a kapacitás egysége a hosszúság egysége, tehát a cm. Eszerint ha 1 cm sugarú gömböt
1 CGS egységnyi töltéssel feltöltünk, a vezető potenciálja is egységnyi lesz. A gyakorlati életben ennek a potenciálnak a 300-ad részét használjuk
a potenciál egységére, és ezt nevezzük voltnak (jele: V). A töltés gyakorlati egységének a coulombot használjuk, amely a töltés CGS egységének
-szerese (jele: C). A (16,1) képletnek megfelelően a kapacitás gyakorlati egysége a coulomb/volt. Ezt nevezzük faradnak (jele: F). A mondottak
szerint 
.
1
1
 Az elektromos és mágneses mennyiségek különböző egységrendszereivel és ezek egymással való kapcsolatával a könyv végén külön pontban foglalkozunk.

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
42
A  töltött  vezetők  által  keltett  elektrosztatikus  tér  energiája  kifejezhető  a  vezetők  kapacitásával.  Mivel  ennek  a  kifejezésnek  a  gyakorlati
elektromosságtanban fontos szerepe van, részletesebben foglalkozunk vele. Először az egyszerűség kedvéért egyetlen vezetőt tekintünk. A vezető
felületén legyen e töltés, amelynek eloszlását az η sűrűségfüggvény írja le (25. ábra). A töltött vezető által keltett sztatikus tér energiája (9,10) szerint
a következő:
 ((16,3). egyenlet).
25. ábra -
Az integrál a vezetőn kívüli tartományra értendő. E célból vegyük körül az F vezetőt egy olyan nagy F' zárt felülettel, amely magában foglalja a keltett
elektromos teret. (A számítás végén az F' felületet kitoljuk a végtelenbe.) A (10,3) összefüggés figyelembevételével (16,3) a következőképpen írható:
 ((16,4). egyenlet).
A vektoranalízisből ismert
összefüggés alapján (16,4) átalakítható a következőképpen:
.
Mivel az F és F' közötti tartományban töltés nincs, (10,2) alapján az első integrál eltűnik. A második integrált pedig Gauss-tétellel felületi integrállá
alakítjuk:

---