Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

A MAXWELL-EGYENLETEK
22
Az elektromágneses tér energiája
Tételezzük fel, hogy a közeg, amelyben az elektromágneses teret vizsgáljuk, homogén izotrop, tehát ε, μ és σ állandók. Az (5,2), (5,3) anyagi
egyenletek figyelembevételével írjuk fel az (5,1)–I. és az (5,1)–III. Maxwell-egyenletet:
 ((I'). egyenlet),
 ((III'). egyenlet).
Az (I') egyenletet szorozzuk meg 
-vel, a (III')-t pedig 
-val, és az így kapott egyenleteket adjuk össze. Megfelelő sorrendváltoztatás
után kapjuk, hogy
 ((9,1). egyenlet).
Az egyenlet mindkét oldalát integráljuk egy V térfogatra:
 ((9,2). egyenlet).
A jobb oldalon szereplő első integrál integrandusza a vektoranalízisből ismert összefüggés alapján a következőképpen írható:
 ((9,3). egyenlet).
Az utolsó integrál integrandusza pedig idő szerinti differenciálhányadossá alakítható:
 ((9,4). egyenlet).
(9,3) és (9,4) behelyettesítése után (9,2) a következő alakot veszi fel:

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
23
 ((9,5). egyenlet).
Mivel a tekintett V térfogat rögzített, az utolsó integrálból az idő szerinti differenciálás jele az integrál elé emelhető. A jobb oldal első integrálját a
Gauss–Osztrogradszkij-tétellel alakítjuk át a V tartomány zárt F felületére vett integrállá. Ezek után (9,5) így írható:
 ((9,6). egyenlet).
Az itt szereplő integráloknak konkrét fizikai jelentésük van. A bal oldal azt a teljesítményt jelenti, amelyet az elektromágneses tér végez, midőn a
konvektív áramot képviselő ϱ sűrűségű töltésrendszert 
v sebességgel mozgatja. Ez a teljesítmény – mint a mechanikából tudjuk – a töltésrendszer
K kinetikai energiájának időegységre eső növekedésével egyenlő:
 ((9,7). egyenlet).
A  jobb  oldalon  álló  utolsó  integrál  fizikai  jelentésének  megbeszélése  végett  egyelőre  tételezzük  fel,  hogy  a  kiszemelt  V  tartományban  vezetők
nincsenek (
j = 0), és a tartomány határán a térerősségek eltűnnek. Ez az utóbbi feltevés tulajdonképpen azt jelenti, hogy a vizsgált fizikai rendszerünk
zárt,  hisz  elektromágneses  terével  az  F  felületen  kívüli  testekre  nem  fejt  ki  erőhatást  és  viszont,  tehát  nincs  a  környezettel  elektromágneses
kölcsönhatásban. A tett feltevések következtében a jobb oldalon csak az utolsó tag marad meg, az első két integrál eltűnik:
 ((9,8). egyenlet).
Írjuk be az egyenlet bal oldalára (9,7) alapján a töltésrendszer kinetikai energiájának időegységre eső növekedését:
 ((9,9). egyenlet).
Ez az egyenlet azt a meglepő felismerést tükrözi, hogy zárt rendszer esetén sem érvényes a mechanikai jellegű energia megmaradásának a tétele:
.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
24
A  vizsgált  zárt  rendszerünk  azonban  nemcsak  töltött  testeket  tartalmaz,  hanem  az  általuk  keltett  elektromágneses  teret  is.  Ha  az  energia
megmaradásának tételét minden zárt rendszerre érvényesnek akarjuk tekinteni, akkor fel kell tételeznünk, hogy az elektromágneses térnek is van
energiája. (9,9) alapján nyilvánvaló, hogy az elektromágneses térnek
 ((9,10). egyenlet)
energiát kell tulajdonítanunk. Így a zárt fizikai rendszer (töltött testek + elektromágneses tér) teljes energiájára érvényes a megmaradási tétel:
 ((9,11). egyenlet)
Az elektromágneses tér energiájának (9,10) kifejezése az
 ((9,12). egyenlet)
folytonos függvénynek a V térfogatra vett integrálja. A térenergia tehát folytonosan oszlik el az egész tartományban. Az u folytonos függvényt az
elektromágneses tér energiasűrűségének nevezzük. Az energiasűrűség (9,12) képletéből látszik, hogy u ott különbözik zérustól, ahol a térerősségek
is zérustól különböznek, tehát ahol elektromágneses tér van. Az anyagi egyenletek figyelembevételével u a következő szokásosabb alakba írható:
 ((9,13). egyenlet).
Ezután foglalkozzunk a (9,6) egyenlet fizikai jelentésével, amely nem zárt rendszerre vonatkozik. Írjuk (9,6)-ot (9,7) és (9,10) felhasználásával a
következőképpen:
 ((9,14). egyenlet).
A bal oldalon az F felülettel bezárt elektromágneses tér energiájának időegységre eső csökkenése áll. (9,6)-ból látható, hogy ez az energiacsökkenés
három részből tevődik össze. Az első tag az elektromágneses tér által mozgatott töltések kinetikai energiájának időegységre eső növekedése. A
harmadik tag az egész V térfogatra vett integrál. Ennek integrandusza csak vezetőkben különbözik zérustól. Tapasztalatból tudjuk, hogy a vezetőkben
folyó áram hőt termel, az ún. Joule-hőt. Kézenfekvő ezt a tagot a Joule-hővel azonosítanunk. Eszerint a V térfogatban időegység alatt keletkezett
hő kifejezése:

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
25
 ((9,15). egyenlet).
Alkalmazzuk a (9,15) képletet l hosszúságú, q keresztmetszetű vékony homogén drótszakaszra, amelyben I erősségű áram folyik. Ebben az esetben
, 
. A 
j = σE Ohm-törvény felhasználásával (9,15)-ből kapjuk, hogy
 ((9,16). egyenlet).
Bevezetve a vezető szakasz ohmikus ellenállásának
 ((9,17). egyenlet)
kifejezését, a vezetőben időegység alatt keletkezett Joule-hőre a kísérleti fizikából jól ismert
 ((9,18). egyenlet)
képletet kapjuk. (9,18)-at Joule tapasztalati úton állapította meg, és a mindennapi gyakorlat igazolja. Ennélfogva az áram által vezetőben keltett hő
(9,15) kifejezése a tapasztalattal egyezik. Ez a hő (9,14) szerint az elektromágneses tér energiáját fogyasztja.
(9,14) jobb oldalának második tagja az
 ((9,19). egyenlet)
kifejezés F-re vett felületi integrálja. Értéke tehát 
S-nek a határfelületen felvett értékeitől függ. Ezt a tagot a V tartomány F határfelületén az időegység
alatt kiáramló energiával azonosítjuk. A (9,19) képlettel definiált vektort, az energiaáram- sűrűséget, bevezetőjéről Poynting-vektornak nevezzük.
Ezek  után  megfogalmazzuk  a  Maxwell-egyenletekből  levezetett  (9,14)  energiaegyenlet  fizikai  jelentését.  Az  F  felülettel  határolt  tartomány
elektromágneses terének energiája három okból kifolyólag csökken: 1. Az erőtér mozgatja a töltött testeket, miközben munkát végez, és így azok
kinetikai energiáját növeli (a jobb oldal első tagja); 2. a határfelületen energia áramlik ki (második tag); 3. a V térfogatban levő vezetőkben az áram
hatására hő keletkezik (harmadik tag).

---