Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

A MAXWELL-EGYENLETEK
18
 ((6,25). egyenlet).
A (6,25) egyenlet a 
 vonalszakasz választásától független, ezért az integranduszok megegyeznek:
 ((6,26). egyenlet).
Ez a határfeltétel azt fejezi ki, hogy „felületi” áramok esetén a mágneses térerősség tangenciális komponense ugrik a felület mentén. Az ugrás
mértékét (6,26) alapján a „felületi” áramsűrűség határozza meg.
A levezetésből következik, hogy i
fel
 a kiválasztott tangenciális irányra merőlegesen folyó „felületi” áram sűrűségét jelenti.
Ha a határfelület mentén nem folyik áram (i
fel
 = 0), akkor a mágneses térerősség tangenciális komponense folytonosan megy át a két közeg határán:
 ((6,27). egyenlet).
A mágneses indukcióvektor tangenciális komponense ugrik a határfelületen. 
B tangenciális komponensének hányadosa (5,3) és (6,27) alapján:
 ((6,28). egyenlet).
Az elektromos töltés megmaradása. Kontinuitási egyenlet. Relaxációs
idő
Képezzük az (5,1) I. Maxwell-egyenlet mindkét oldalának divergenciáját:
 ((7,1). egyenlet).
Mivel bármely vektor rotációjának divergenciája azonosan zérus, (7,1) bal oldala eltűnik. Helyettesítsük be div 
D helyére az (5,1) II. egyenletből 4πϱ-
t, majd 
-vel egyszerűsítsünk:

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
19
 ((7,2). egyenlet).
Ez  a  mechanikából  már  ismert  kontinuitási  egyenlet.  Az  elektromos  töltés  megmaradását  fejezi  ki  differenciális  formában.  Erről  könnyen
meggyőződhetünk, ha az egyenletet integráljuk egy zárt, rögzített V térfogatra:
 ((7,3). egyenlet).
Mivel a térfogat rögzített, az idő szerinti differenciálhányados kiemelhető az integráljel elé. A második integrált pedig a Gauss–Osztrogradszkij-tétellel
a V felületére vett integrállá alakíthatjuk. Így (7,3) a következőképpen írható:
 ((7,4). egyenlet).
A (7,4) bal oldala a V térfogatban levő elektromos töltés időegységre eső növekedését jelenti, a jobb oldalon pedig az F felületen időegység alatt
beáramló töltésmennyiség áll. A V térfogatban tehát adott idő alatt annyival nő meg a töltés, amennyi az F felületen beáramlik. Ez azt jelenti, hogy
az elektromos töltés nem tűnik el, hanem megmarad.
Relaxációs idő
A (7,2) kontinuitási egyenlet alapján tanulmányozhatjuk, hogy a vezető vagy szigetelő belsejébe vitt elektromos töltés időben hogyan változik. A
konvektív áramoktól egyelőre tekintsünk el. Ebben az esetben (7,2) a következő alakot veszi fel:
 ((7,5). egyenlet).
Foglalkozzunk először a szigetelő esetével. A szigetelők vezetőképessége zérus, ezért szigetelőkben 
j ≡ 0. Így (7,5)-ből adódik:
 ((7,6). egyenlet).
A szigetelőkbe vitt elektromos töltés tehát ott marad a helyén, mivel a közeg nem vezeti az áramot.
Vezetőkben  viszont  az  elektromos  tér  hatására  áram  indul  meg,  ami  a  töltést  a  felületre  szállítja  mindaddig,  amíg  az  egyensúlyi  állapotban  (a
sztatikában) a vezető belsejében az elektromos tér zérussá válik. Vizsgáljuk meg, hogy mennyi idő alatt következik be ez az egyensúlyi állapot
magára hagyott vezető esetén.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
20
Az (5,12) Ohm-törvény szerint:
 ((7,7). egyenlet).
Írjuk be 
j-nek ezt a kifejezését (7,5)-be:
 ((7,8). egyenlet).
Tegyük fel, hogy a vezető homogén (σ és ε állandó), és vegyük figyelembe az (5,2) anyagi egyenletet. Ekkor (7,8) a következőképpen írható:
 ((7,9). egyenlet).
Felhasználva az (5,1)–I. Maxwell-egyenletet, kapjuk:
 ((7,10). egyenlet).
Ez a differenciálegyenlet írja le homogén vezető belsejében az elektromos töltés sűrűségének időbeni változását. (7,10) megoldása a következő:
 ((7,11). egyenlet).
Homogén vezető belsejében az elektromos töltéssűrűség tehát időben exponenciálisan csökken. ϱ
0
 a t = 0 időponthoz tartozó töltéssűrűséget jelenti.
A 
 idő alatt a ϱ töltéssűrűség kezdeti értékének e-ed részére csökken. A t
r
 időt relaxációs időnek nevezzük. Mivel vezetők dielektromos
állandója közelítőleg egy nagyságrendű, a relaxációs időt gyakorlatilag az 
 mennyiség határozza meg. Vezetők σ vezetőképessége igen nagy
érték, ezért a relaxációs idő rendkívül kicsi. Pl. réz esetén 
 s
–1
, 
 s.
A vezetők belsejébe vitt elektromos töltés tehát gyakorlatilag azonnal a vezető felületére kerül, és beáll a sztatikus egyensúly, amikor a vezetőn belül
ϱ = 0, és ezzel együtt az elektromos térerősség is [lásd az (5,1)–II. egyenletet].
3
3
 Meg kell azonban jegyeznünk, hogy ilyen gyors folyamatokra a fenomenológia elektrodinamika törvényei nem helytállóak, mivel azokat normális viszonyokból származtattuk. Annyi azonban látszik
ebből, hogy vezetőkben rendkívül gyorsan beáll az egyensúlyi állapot.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
21
A Maxwel-egyenletek teljessége
Az (5,1) Maxwell-egyenletekben adott mennyiségek a ϱ, 
v, ε, μ, σ a helynek és az időnek a függvényei (az anyagi együtthatók általában függhetnek
még  a  hőmérséklettől  és  a  tömegsűrűségtől  is).  Ezeket  ismert  függvényeknek  tekintjük.  Ismeretlenek  a  térre  jellemző  mennyiségek.  Az  (5,1)
egyenletek ezek meghatározására szolgálnak. Mivel az I. és III. egyenlet vektoregyenlet, (5,1) nyolc egyenletet jelent. Tekintetbe véve az (5,2),
(5,3) (5,12) anyagi egyenleteket, az ismeretlen függvények száma hat. Úgy tűnik, hogy a nyolc egyenlet túlhatározza a hat ismeretlen függvényt.
Ez azonban nincs így, mert ténylegesen hat a független egyenletek száma is. Ugyanis két összefüggés áll fenn közöttük. A II. és a IV. egyenlet
valójában kiegészítő feltételek szerepét játssza az I. és a III. megoldásánál. A töltésmegmaradás miatt az áram- és töltéssűrűség között mindig
fennáll a (7,2) kontinuitási egyenlet:
.
Ez azt jelenti, hogy a 
j (tehát a kezdeti E) ϱ és v nem adhatók meg önkényesen, hanem úgy, hogy (7,2)-nek fenn kell állnia. Ha e mennyiségeket
ennek megfelelően választottuk, akkor (7,1) (amely I. következménye) és (7,2) alapján érvényes a következő összefüggés:
 ((8,1). egyenlet),
vagy
 ((8,2). egyenlet).
Ez annyit jelent, hogy 
 az időben állandó. Ha 
D kezdeti értékét úgy választottuk meg, hogy ez az állandó zérus, vagyis
 ((5,1)–(II). egyenlet),
akkor  ez  bármely  későbbi  időpontban  is  fennáll.  Minthogy  (8,2)  az  (5,1)–I.  egyenlet  következménye,  így 
D  kezdeti  értékének  alkalmas
megválasztásával (5,1)–II. is az I. egyenlet folyománya. 
D kezdeti értékének alkalmas megválasztása tehát feleslegessé teszi az (5,1)–II. egyenletet.
Hasonlóképpen belátható, hogy 
B kezdeti értékének alkalmas megválasztásával (5.1)–II. az (5,1)–III. következménye lesz.
Ha  a 
D  és  B  kezdeti  értékeit  tehát  úgy  választottuk  meg,  hogy  (5,1)–II.  és  (5,1)–IV.  a  t  =  0  esetben  teljesül,  akkor  az  (5,1)–I.  és  az  (5,1)–
III.  folyományaként  mindig  teljesülni  fog.  Ennélfogva  a  kezdeti  értékek  alkalmas  megválasztása  után  a  II.  és  a  IV.  egyenlet  elhagyható,  az
elektromágneses  teret  a  I.  és  a  III.  egyenlet  határozza  meg.  Ez  pedig  hat  egyenletet  jelent  a  hat  ismeretlen  függvényre  (pl.  a  hat  térerősség-
komponensre). Ezzel a Maxwell-egyenletek teljességét megmutattuk.

---