Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
30
(11,5)-ből az elektromos térerősségre (10,3) alapján kapjuk:
 ((11,6). egyenlet).
Az origóban nyugvó ponttöltés tere sugárirányú gömbszimmetrikus tér. A B konstans értékét az (1,3a) egyenletből határozzuk meg. Integráljuk az
elektromos térerősséget az origót körülvevő r sugarú gömbfelületre. Mivel 
E a felületen állandó és sugárirányú,
 ((11,7). egyenlet).
(11,7)-et (1,3a)-val összehasonlítva látható, hogy a B konstans értéke az e töltéssel egyezik meg.
Az origóban nyugvó ponttöltés sztatikus terének potenciálja és térerőssége tehát a következő:
 ((11,8). egyenlet),
 ((11,9). egyenlet).
A ponttöltés (11,9) sztatikus tere az (1) erőképlettel együtt lehetővé teszi az elektromos töltés egységének definiálását. E célból gondoljunk el egy
másik e' ponttöltést az előbbitől r távolságra. Az e töltés (11,9) erőtere révén
 ((11,10). egyenlet)
erőt fejt ki az e' töltésre. (11,10) a kísérleti fizikából jól ismert Coulomb-törvény. Ennek alapján a töltés egységét a következőképpen definiáljuk:
egységnyi töltés a tőle 1 cm-re levő ugyancsak egységnyi töltésre 1 dyn erőt fejt ki. Ez a töltés abszolút elektrosztatikai egysége.
(11,8) és (11,9) levezetésénél a töltést az egyszerűség kedvéért az origóba helyeztük. Ebben az esetben 
, ahol (x, y, z) annak a
pontnak a koordinátái, amelyben a potenciált keressük. Ha r mindig a töltés és a P(x, y, z) pont közötti távolságot,   pedig a töltéstől a P pont felé
mutató egységvektort jelenti, akkor ugyanezek a képletek vonatkoznak arra az esetre is, amikor a töltés egy tetszőleges, pl. a Q(x
0
, y
0
, z
0
) pontban
nyugszik. Ekkor 
. A potenciál a P(x, y, z) pontban tehát:

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
31
 ((11,11). egyenlet).
Több ponttöltés elektrosztatikus terét az egyes töltések terének szuperpozíciója adja meg. Ugyanis az alapegyenleteink lineáris volta miatt az egyes
megoldások összege is megoldás:
 ((11,12). egyenlet),
ahol 
E
l
, 
E
2
, ...,; Φ
1
, Φ
2
, ... az egyes ponttöltések által keltett elektromos térerősségeket, illetve azok potenciáljait jelentik: 
. Ha az e
i
ponttöltés helykoordinátái x
i
, y
i
, z
i
, akkor
 ((11,13). egyenlet)
ahol 
.
Az elektromos térerősséget (11,12) alapján az x, y, z koordináták szerinti gradiensképzéssel kapjuk.
A folytonos töltéseloszlás potenciálja
Tételezzük fel, hogy a V térfogatot az elektromos töltés folytonosan tölti ki ϱ sűrűséggel. Határozzuk meg ennek a töltéseloszlásnak az elektrosztatikus
potenciálját a P(x, y, z) pontban (18. ábra). A V térfogatot osszuk fel ΔV
i
 elemi tartományok összességére, és tegyük fel, hogy ΔV
i
-ben a sűrűség
középértéke ϱ
i
. Elég kicsire választva a ΔV
i
 tartományt, a P pontból közelítőleg pontszerűnek tekinthető. A P pontbeli potenciált megkapjuk, ha ezen
elemi tartományok – mint ponttöltések – potenciáljait összegezzük, majd a ΔV
i
 → 0 határátmenettel a folytonos eloszlásra térünk át. Így (11,13)
felhasználásával a következő kifejezést kapjuk:
 ((12,1). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
32
18. ábra -
Vagy rövidebb jelöléssel:
.
A ponttöltés elektrosztatikus potenciálját a (10,5) Poisson-egyenlet megoldásával kaptuk. Ebből – a fizikában elég gyakori fenti gondolatmenettel
– következtettünk a folytonos töltéseloszlás (12,1) potenciálkifejezésére. A gondolatmenet logikája alapján biztosak vagyunk abban, hogy (12,1)
megoldása a Poisson-egyenletnek, azonban néhány ilyen egyszerűbb esetben mégis célszerű pontos matematikai úton is megmutatni, hogy a fenti
gondolatmenettel nyert megoldások valóban megoldásai a probléma alapegyenletének, jelen esetben a (10,5)-nek. Ennek a nevelési szempontból is
jogos követelménynek teszünk eleget, amikor most a matematikából ismert Green-tétel felhasználásával megmutatjuk, hogy (12,1) valóban kielégíti
a (10,5) Poisson-egyenletet.
Tegyük fel, hogy Ψ és Φ differenciálhányadosukkal együtt reguláris függvényei az x, y, z változóknak a V térfogatban. A Green-tétel szerint ekkor
fennáll a következő egyenlőség:
 ((12,2). egyenlet),
ahol F a V tartomány határoló felülete. Legyen P(x, y, z) a V tartomány egy tetszőleges belső pontja (19. ábra). A többi pont ettől számított távolságát
jelöljük r-rel. Ψ-t válasszuk speciálisan úgy, hogy kielégítse a 
 egyenletet. Nevezetesen, legyen 
. Ez a Ψ függvény a P pontban nem
reguláris.  Ezért  (12,2)  csak  akkor  alkalmazható,  ha  a  P  pontot  egy  P  középpontú,  R  sugarú  kis  gömbbel  körülvéve,  kirekesztjük  a  tekintett  V
tartományból. Majd a G felületű gömböt összehúzzuk a P pontra. Ezek után alkalmazzuk a (12,2) Green-tételt az F és G által határolt tartományra.
Ebben mind a Ψ, mind a Φ reguláris. A Φ függvényről tegyük fel, hogy az a keresett potenciállal egyezik meg. Így a következő egyenlőséget kapjuk:

---