Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
33
 ((12,3). egyenlet).
19. ábra -
A gömb felületén vett integrálban:
,
,
ahol dΩ a P-ből kiinduló elemi térszög. Ha a G gömbfelületet folytonosan összehúzzuk a P pontra, a gömbre vett felületi integrál –4πΦ(P)-hez tart.
Ennélfogva:
 ((12,4). egyenlet).
Most feltételezzük, hogy a tekintett tartomány az egész végtelen tér, és hogy a Φ potenciál differenciálhányadosaival együtt mindenütt reguláris. Ekkor
a (12,4)-ben szereplő F felület a végtelen sugarú gömbfelület. Nézzük meg, hogy a fenti felületi integrál mihez tart ebben az 
 határátmenetben.
A végtelenben Φ úgy tart zérushoz, mint  ; a (grad Φ)
n
 és a 
 pedig úgy, mint  . Az egész integrandusz tehát úgy viselkedik a végtelenben,
mint  . A 
 felületelem másodfokú függvényként tart a végtelenhez. Ezért az egész felületi integrál zérushoz tart, amikor az F felületet
teljesen kitoljuk a végtelenbe. Ennélfogva (12,4) a végtelen térre kiterjesztve a következő alakot veszi fel:

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
34
 ((12,5). egyenlet).
A (10,5) Poisson-egyenlet alapján ΔΦ helyébe –4πϱ írható. Így végül éppen a (12,1) megoldást kapjuk:
.
Ezzel megmutattuk azt, hogy (12,1) valóban a 
 Poisson-egyenlet megoldása.
Ha a folytonos töltéseloszlás nem térfogati, hanem felületi, η sűrűséggel, akkor a (12,l)-et megelőző gondolatmenethez hasonlóan, a Φ potenciálra a
 ((12,6). egyenlet)
kifejezést kapjuk. Erről is megmutatható a Green-tétellel, hogy kielégíti az elektrosztatika alapegyenleteit.
Abban az általánosabb esetben, amikor a térben térfogati és felületi töltéseloszlások egyaránt jelen vannak, az elektrosztatikus tér potenciálját (12,1)
és (12,6) összege adja meg:
 ((12,7). egyenlet).
Vezetők elektrosztatikus térben
A vezetőkre az jellemző, hogy elektromos tér esetén bennük áram indul meg az (5,12) Ohm-törvénynek megfelelően:
j = σE.
A fenomenológiai elektrosztatikában a vezetők sajátságait az anyagra jellemző σ vezetőképességgel vesszük figyelembe. Az elektrosztatikus térben
a töltések nyugalomban vannak, tehát nincs áram: 
j ≡ 0. Ennélfogva az Ohm-törvényből következik, hogy sztatikus tér esetén a vezetőkben az
elektromos térerősség mindenütt zérus:
 ((13,1). egyenlet).
A 
D = εE anyagi egyenlet alapján ez maga után vonja az elektromos indukcióvektor eltűnését is: D = 0. Amiből az is következik, hogy a vezetőben
sztatikus esetben

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
35
 ((13,2). egyenlet).
Ha ezt az egyenletet összevetjük az általános érvényű
második Maxwell-egyenlettel, látjuk, hogy elektrosztatikában a vezetőkben az elektromos töltés térfogati sűrűsége mindenütt zérus:
 ((13,3). egyenlet).
Ebből következik, hogy az elektromos töltés a vezetők felületén helyezkedik el; tehát 
. Ha a töltött vezetőt külső elektromos térbe helyezzük, a
töltés a felületen átrendeződik úgy, hogy belül az általa keltett tér a külső teret teljesen kompenzálja.
A térerősségekre vonatkozó határfeltételek tárgyalásánál (6. pontban) láttuk, hogy a töltött határfelület mentén:
,
.
A 2-es index vonatkozzék a vezetőfelület külső normálisára. Mivel feltevésünk értelmében a vezetőn kívül vákuum van, ezért 
, továbbá (13,1)
miatt 
, 
, a töltött vezető felületén (20. ábra):
 ((13,4). egyenlet).
20. ábra -
A (13,4) összefüggések azt jelentik, hogy a töltött vezető felületét az elektromos térerősség vonalai merőlegesen hagyják el, vagyis a felületen
 ((13,5). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
36
Az 
E = –grad Φ összefüggés alapján (13,l)-ből következik, hogy az elektrosztatikus potenciál a vezető minden pontjában ugyanaz az érték:
 ((13,6). egyenlet).
Ezért a Φ potenciálnak a vezetőn felvett értékét szokás a vezető potenciáljának nevezni.
A (13,4) összefüggések kifejezhetők a potenciállal is. Töltött vezető felületén:
 ((13,7). egyenlet)
A vezetők η felületi töltéseloszlását – a legegyszerűbb esetektől eltekintve – általában nem tudjuk megadni, hanem csak az egyes vezetők összes
töltését. Ezért az általuk keltett elektrosztatikus teret általában nem lehet a (12,6) képlet alapján számítani. Ilyenkor a potenciálra vonatkozó Poisson-
egyenletet kell megoldanunk, amely a vezetőkön kívül (ϱ = 0) kielégíti a
 ((13,8). egyenlet)
egyenletet. Ennek megoldásánál tekintetbe kell vennünk, hogy
a) Φ a vezetőkön (és azok belsejében) állandó;
b) grad Φ normális komponensének a vezető felületére vett integrálja a vezető összes töltésének (–4π)-szeresével egyenlő [(13,7)-ből]:
 ((13,9). egyenlet).
A  legegyszerűbb  esetekben  természetesen  megadható  η  a  felület  mentén.  Ezekben  az  esetekben  a  Φ  potenciál  meghatározására  célszerű
használnunk az egyszerű (12,6) képletet.
Töltött vezető gömb elektrosztatikus tere
Gondoljunk el R sugarú vezető gömböt, amelynek középpontja koordináta-rendszerünk origójában van. A gömb töltése legyen e. Ez a töltés a
gömbön egyenletesen oszlik el, tehát
 ((14,1). egyenlet).
Az általa keltett sztatikus tér potenciálját a (12,6) képlet adja meg:

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
37
 ((14,2). egyenlet).
A P pontot az általánosság megszorítása nélkül választhatjuk a koordináta-rendszer x tengelyén, az origótól a távolságra. A dF felületelemet vegyük
fel úgy, hogy az a P-ből r távolságra levő dx vastagságú gömbi zóna felszíne legyen. Ekkor
dF = 2πR dx.
A 21. ábrából leolvasható, hogy az r távolság a következő négyzetgyökös kifejezés:
.
21. ábra -
Mivel ez a négyzetgyök távolságot jelent, értéke csak pozitív lehet. Ezek után kapjuk:
 ((14,3). egyenlet)
Ha a P pont a gömbön kívül van (a > R), akkor az első négyzetgyök értéke a – R, a másodiké a P pont helyzetétől függetlenül a + R. Ennélfogva
az a > R esetben 
:
 ((14,4). egyenlet).

---