Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

A MAXWELL-EGYENLETEK
14
 ((6,3). egyenlet).
Az F
1
-re és az F
2
-re vett integrál az F felületre vett integrálba megy át. Az F
2
 felület külső normálisát válasszuk az F felület pozitív normálisával
egyirányúnak. Ekkor a fenti határátmenetben:
 ((6,4a). egyenlet),
 ((6,4b). egyenlet).
 és 
 az elektromos indukcióvektor normálisát jelenti az F felület mentén az 1, ill. 2 indexű (ε
1
, ill. ε
2
 dielektromos együtthatójú közeggel érintkező)
oldalon. A (6,2) egyenletből a h → 0 határesetben így a következőt kapjuk:
 ((6,5). egyenlet).
A (6,5) egyenlet a határ menti F felület választásától függetlenül érvényes, ezért a két oldalon szereplő integranduszok megegyeznek egymással:
 ((6,6). egyenlet).
A 
D vektor normális komponensére tehát a (6,6) határfeltétel áll fenn. Ez az összefüggés azt jelenti, hogy ha az elválasztó felület mentén töltés van
(pl. töltött vezető a határoló felület), akkor a 
D normális komponense ugrik a határon. Ellenben ha a két közeg határán nincs töltés (η = 0), akkor az
elektromos indukcióvektor normális komponense folytonosan megy át a két közeg határán:
 ((6,7). egyenlet).
Az (5,2) anyagi egyenletből, valamint a (6,7) határfeltételből következik, hogy az elektromos térerősség normális komponense a határfelület mentén
ugrik:
 ((6,8). egyenlet).
A két normális komponens hányadosa a megfelelő dielektromos együtthatók hányadosának reciprokával egyezik meg:
 ((6,9). egyenlet).

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
15
Határfeltétel a mágneses indukció vektorának normális komponensére (B
n
)
Az egymással érintkező két közeg mágneses permeabilitása legyen μ
1
, ill. μ
2
.
A tapasztalatból nyert (4,1) egyenletet alkalmazzuk az előbbi hengerszerű térfogatra:
 ((6,10). egyenlet).
Ebből ugyanolyan gondolatmenettel, mint előbb, h → 0 határesetben adódik:
 ((6,11). egyenlet).
Mivel ez az integrál az F felület választásától függetlenül zérus, az integrandusznak el kell tűnnie:
 ((6,12). egyenlet).
A mágneses indukcióvektor normális komponense tehát folytonosan megy át két különböző közeg határán. Az (5,3) anyagi egyenletből, valamint a
(6,12) határfeltételből kapjuk a mágneses térerősség normális komponensére vonatkozó határ- feltételi egyenletet:
 ((6,13). egyenlet).
A mágneses térerősség normális komponense ugrik két különböző közeg határán. A 
H normális komponenseinek hányadosa a megfelelő mágneses
permeabilitások hányadosának reciprokával egyenlő:
 ((6,14). egyenlet).
Határfeltétel az elektromos térerősség tangenciális komponensére (E
t
)
A két közeg közös határfelületén vegyünk fel egy 
 vonalszakaszt (15. ábra). Húzzunk ezzel egy-egy párhuzamos vonalat az 1-gyel, illetve 2-vel
jelölt közegben egyforma távolságra. A megfelelő vonalszakaszokat jelöljük 
-vel, ill. 
-vel. Integráljuk az elektromos térerősséget a 
zárt görbére. Ez az integrál (3,4) alapján a következőképpen írható:
 ((6,15). egyenlet).

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
16
15. ábra -
A jobb oldalon levő felületi integrál a 
 zárt görbe által határolt F felületre értendő. A (6,15) egyenlet mindkét oldalán végezzük el a 
,
, 
, 
 határátmenetet. Más szóval: a 
 és a 
 szakaszt folytonosan ráhúzzuk a 
 vonaldarabra. Ennél a határátmenetnél
az F felület zérushoz tart: F → 0. Mivel az 
 mennyiség korlátos, az F → 0 határátmenetnél a felületi integrál zérushoz tart:
 ((6,16). egyenlet).
Hasonló a helyzet a bal oldalon levő második és negyedik integrállal. Ugyanis az integrációs tartomány mindkettőnél zérushoz tart, az integrandusz
pedig korlátos:
 ((6,17a). egyenlet).
 ((6,17b). egyenlet).
Ennélfogva a (6,15) egyenlet a határátmenet során a következő egyenletbe megy át:
 ((6,18). egyenlet).
Ez az integrál a 
 vonalszakasz választásától függetlenül eltűnik. Ez csak úgy lehet, hogy az integrandusz azonosan zérus:
 ((6,19). egyenlet).

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
17
Az elektromos térerősség tangenciális komponense tehát folytonosan megy át két különböző közeg határán.
Az (5,2)-ből és (6,19)-ből következik, hogy a 
D vektor tangenciális komponense ugrik a két különböző közeg határfelületén:
 ((6,20). egyenlet).
Az elektromos indukcióvektor tangenciális komponenseinek hányadosa a megfelelő dielektromos együtthatók hányadosával egyezik meg:
 ((6,21). egyenlet).
Határfeltétel a mágneses térerősség tangenciális komponensére (H
t
)
A (2,9) egyenletet írjuk fel az előbbi 
 zárt görbére, illetve az általa meghatározott F felületre:
 ((6,22). egyenlet),
itt 
i a konvektív és a konduktív áram sűrűségének összege. Végezzük el ismét a 
, 
, 
, 
 határátmenetet. Ekkor a (6,15)–
(6,17b)-nél követett gondolatmenet alapján a bal oldali második és a negyedik integrál, valamint a jobb oldali második integrál zérushoz tart. Így
(6,22)-ből a következő egyenletet kapjuk:
 ((6,23). egyenlet),
ahol I
fel
 a két közeg határfelülete mentén folyó áram erősségét jelenti. Az I
fel
 „felületi” áramerősséget fejezzük ki i
fel
 ,,felületi” áramsűrűséggel a
következőképpen:
 ((6,24). egyenlet).
(6,24)-et (6,23)-ba írva, kapjuk, hogy

---