Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

A MAXWELL-EGYENLETEK
2
abban,  hogy  a  vonalakra  merőleges  egységnyi  felületű  lapon  (1  cm
2
-en)  keresztül  annyi  vonalat  húzunk,  amennyi  ott  a 
D abszolút értéke. Így
folytonos vonalak rendszerével szemléltethetjük a 
D elektromos indukció vektorterét. Ennélfogva az (1,2) integrál az F felületen áthaladó elektromos
indukcióvonalak számát adja meg. N-et az elektromos indukció fluxusának nevezzük.
A tapasztalat azt mutatja, hogy az N indukciófluxus arányos az F felület belsejében levő összes töltéssel:
 ((1,3). egyenlet).
A k arányossági tényező értéke a mértékegységek megválasztásával van szoros kapcsolatban. Válasszuk k-t 4π-nek, így – mint később látni fogjuk
– a CGS mértékrendszerhez jutunk. Az (1,3) ekkor a következő alakba írható:
 ((1,3a). egyenlet).
Ezt az összefüggést az elektrosztatika Gauss-tételének szokás nevezni. (1,3a) szemléletesen azt jelenti, hogy az e töltésből 4πe számú 
D vonal
indul ki.
1
 Az e elektromos töltést (1,3a) jobb oldalán fejezzük ki a töltéssűrűség térfogati integráljával. Mivel V'-n kívül a ϱ sűrűség azonosan zérus,
az (1,1) térfogati integrál kiterjeszthető a V térfogatra. Így (1,3a) a következőképpen írható:
 ((1,4). egyenlet).
Az (1,4) bal oldala a matematikából ismert Gauss–Osztrogradszkij-tétel (1. függelék) felhasználásával térfogati integrállá alakítható át:
 ((1,5). egyenlet).
Ennélfogva (l,4)-ből és (l,5)-ből a következő egyenletet kapjuk:
 ((1,6). egyenlet).
A tapasztalat szerint ez az integrál a V térfogat választásától függetlenül mindig zérus. Ez viszont csak úgy lehet, hogy az integrandusznak a tér
minden pontjában el kell tűnnie:
 ((1,7). egyenlet).
1
 Megjegyezzük, hogy az e töltésből kiinduló 
D vonalak száma a töltést körülvevő anyagi közegtől függetlenül mindig 4πe. Az elektromos térerősség a (16) képlet alapján E = D/ε, ahol ε a közeg
dielektromos együtthatója.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
3
Ez az egyenlet az egyik Maxwell-egyenlet, amely az (1,3a) Gauss-tételnek differenciális alakban való megfogalmazása.
Az (1,5) egyenletből következik, hogy ha a V tartományban div 
D = 0, akkor a V-t határoló felületre vett indukciófluxus zérus, vagyis a felületen D
vonal nem megy át. Ellenben, ha 
, akkor az F felületre vett fluxus zérustól különböző, tehát a felületet indukcióvonalak szelik át. Mivel (1,7)
alapján div 
D ott különbözik zérustól, ahol elektromos töltés van, ezért a D vonalak töltésből indulnak ki, vagy töltésbe torkollnak be. Más szóval,
az elektromos töltések az elektromos indukcióvonalak forrásai vagy nyelői. Ha div 
D > 0, tehát a töltés pozitív, akkor a fluxus is > 0, vagyis kifelé
mennek az indukcióvonalak. div 
D < 0 (ϱ < 0) esetén az F zárt felületet befelé szelik át a D vonalak. Tehát: az elektromos indukcióvonalak a pozitív
töltésből indulnak ki, és a negatív töltésben végződnek.
A töltések az (1,7) egyenlet alapján gerjesztik az elektromos teret. Következésképpen az elektromos tér gerjesztését a 
D indukcióvektor jellemzi.
(l,7)-ből az is látszik, hogy a töltések által keltett 
D vektortér független attól, hogy a töltések milyen anyagi közegben helyezkednek el, ha az egész
teret egységes anyag tölti ki, más szóval, ha a térben ε-nak nincsen szakadása.
Az elektromos áram mágneses tere
A kísérleti fizikai tanulmányainkból tudjuk, hogy a vezetőben folyó áram maga körül mágneses teret kelt. A felismerés Oersted nevéhez fűződik,
aki elsőként tapasztalta, hogy az áram közelébe helyezett mágnestű kitér, jeléül a jelen levő mágneses térnek. A mágneses tér erőssége a fent
ismertetett módon próbamágnestűvel pontról pontra kimérhető.
Tekintsünk egy vezetőt, amelyben I erősségű áram folyik (9. ábra). Az áram eloszlását a 
j áramsűrűség írja le, amely I-vei a következő kapcsolatban
van:
 ((2,1). egyenlet).
9. ábra -
Az integrál a vezető q keresztmetszetére terjesztendő ki. A vezetőt vegyük körül egy s zárt görbével. Tételezzük fel, hogy a mágneses tér 
H erőssége
ismert az s görbe minden pontjában. Ezek után képezhetjük a 
H térerősség s görbe menti vonalintegrálját:

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
4
.
A tapasztalat azt mutatja, hogy ez az integrál arányos az I áramerősséggel, ha az s görbe körülfogja a vezetőt, viszont zérus akkor, ha a görbe
a vezetőn kívül van:
 ((2,2a). egyenlet),
és
 ((2,2b). egyenlet),
ha s a vezetőt nem fogja körül. A k állandó értéke akkor pozitív, ha az s görbe körüljárása az áram irányába nézve az óramutató járásával megegyezik.
k értéke a mértékegységek megválasztásától függ. Weber és Kohlrauch mérései szerint CGS mértékrendszerben
,
ahol 
 cm/s, vagyis a fény vákuumbeli sebessége.
Az áram által keltett mágneses tér alaptörvénye tehát a következő alakba írható:
 ((2,3). egyenlet).
Nem szabad azonban szem elől téveszteni, hogy abban az esetben, ha az s görbe nem fog körül áram által átjárt vezetőt, az integrál értéke zérus.
Feltételezzük, hogy (2,3) érvényes akkor is, ha a vonal, amire integrálunk, a vezető belsejében fekszik. Ilyenkor az I nem a teljes, hanem a görbe
által körülfogott áram erősségét jelenti.
Kísérletek tanúsága szerint (2,3) nemcsak a vezetőkben folyó áram mágneses terére érvényes, hanem a konvektív áram által keltett mágneses
térre is.
A (2,3) egyenlet az áram mágneses terének alaptörvényét fejezi ki integrális összefüggés formájában. Az elméleti fizikában arra törekszünk, hogy
az alapegyenleteket differenciálegyenletek alakjában fogalmazzuk meg. E célból a (2,3) egyenletről is differenciális összefüggésre térünk át. Ehhez
felhasználjuk a matematikából ismert Stokes-tételt (l. függelék):

---