Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
64
irányába. A molekulák állandó hőmozgása e rendeződés ellen hat, ezért az így létrejövő szuszceptibilitás (amit paraelektromos szuszceptibilitásnak
nevezünk) fordítva arányos a hőmérséklettel.
1
2. A második eset az, amikor elektromos tér jelenléte nélkül a molekuláknak vagy atomoknak nincs elektromos dipolmomentumuk. Az elektromos
tér jelenléte a molekulán vagy atomon belüli töltéseloszlást megváltoztatja, a pozitív töltés súlypontját a térerősség irányába, a negatívét ellenkező
irányba húzza szét. A kétféle töltés szétválása azonban csak a molekulán vagy atomon belül történik meg; ellentétben a vezetőkkel, ahol a tér
„megosztó” hatására a két ellentétes töltés a vezető ellentétes felületeire vándorol. Az elektromos tér kis molekuláris dipólusokat hoz tehát létre. Ez
az effektus független a hőmérséklettől. A jelenséget dielektromos polarizációnak nevezzük.
A dipolmomentum-sűrűség (23,13) képletéből látszik, hogy a szigetelő polározottsága megszűnik, ha az elektromos teret kikapcsoljuk (kivételek az
elektrétek!).
Az elmondottakat összefoglalva, megállapíthatjuk, hogy a töltések (ϱ, η) által keltett elektromos teret a szigetelő azáltal befolyásolja, hogy a polarizáció
révén kialakult térfogati dipóluseloszlás potenciálja hozzáadódik a vákuumban érvényes potenciálhoz. Végeredményben tehát:
 ((23,15). egyenlet).
A 21. pontban megmutattuk, hogy a folytonos dipóluseloszlás tere ekvivalens a ϱ
p
 = – div 
P, η
p
 = P
n
 polarizációs töltések által keltett térrel. Ennélfogva
a szigetelők térmódosító hatását úgy is értelmezhetjük, hogy az elektromos tér a dielektrikum polarizációja révén abban polarizációs töltéseket hoz
létre, amelyek tere hozzáadódik az eredeti elektromos térhez. A szigetelő belsejében bármely pontban a töltéssűrűség eszerint két részből tevődik
össze: a vezetőbe ágyazott ϱ töltések – amelyek az eredeti teret keltik – és a ϱ
p
 polarizációs töltések sűrűségéből. Megmutatható, hogy e kettő
összege a (22,11) potenciálképletben szereplő ϱ/ε-nal egyenlő:
 ((23,16). egyenlet).
A vezető felületén levő η felületi töltéssűrűség is ugyanilyen okból csökken ε-od részére:
,
ahol  E
n
  most  a  szigetelőből  kifelé,  tehát  a  vezetőbe  mutató  normális  menti  komponens.  Az  anyagi  egyenlet,  valamint  a  (23,6)  egyenlet
figyelembevételével E
n
 kifejezhető a felületi töltéssűrűséggel. Az átalakításnál vigyáznunk kell azonban arra, hogy (23,6)-ban a normális irányítása
az itteninek éppen ellentétese. Eszerint tehát:
 ((23,17). egyenlet).
1
 A Boltzmann-statisztika alapján történő levezetését lásd Károlyházy–Marx–Nagy: Statisztikus mechanika c. könyv 142. oldalán. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1965.

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
65
Ha a teret nem egy, hanem kettő vagy több szigetelő tölti ki, akkor a két szigetelő határfelületén is kialakul η
p
 polarizációs felületi töltéssűrűség,
amely a két szigetelőre vonatkozó 
P
1
, illetve 
P
2
 polarizációvektor normális komponensének különbségével egyezik meg. Ezt a következőképpen
lehet belátni. Gondoljuk el, hogy a V térfogatot két különböző dielektromos együtthatójú szigetelő tölti ki (34. ábra).
34. ábra -
A két szigetelőt elválasztó határfelület legyen F'. Az egyik dielektromos együtthatója legyen ε
1
, a másiké ε
2
. Az általuk kitöltött térfogat V
1
, illetve V
2
.
Tehát, V
1
 + V
2
 = V. A dielektrikum Φ
d
 potenciálját a
vektoranalitikai összefüggés felhasználásával átalakítjuk:
 ((23,18). egyenlet).
A jobb oldali első integrál Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható. Mivel a két szigetelőt elválasztó F' felület mentén 
P-nek ugrása van, a Gauss-
tétel nem alkalmazható minden további nélkül. Az F' felületet a vele párhuzamosan haladó  ,   felületekkel kizárjuk a V tartományból, majd végül
határátmenettel  -t és  -t F'-re húzzuk. A szóban forgó térfogati integrál így a következő felületi integrálok összegére bontható:
 ((23,19). egyenlet).
Az 
, 
 határátmenettel az  -re és  -re vett integrálok az F'-re vett integrálokba mennek át. F' normális egységvektorát válasszuk úgy,
hogy az ε
1
 dielektromos állandójú közegből mutasson az ε
2
 dielektromos állandójúba. Így (23,19) a következőképpen írható:

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
66
 ((23,20). egyenlet).
A jobb oldali első integrál az F
1
-re és F
2
-re vett integrálok összege, ugyanis F
1
 + F
2
 = F. A szigetelő határán tehát η
p
 = P
n
 sűrűségű felületi töltés
alakul ki, a két szigetelő elválasztó felületén pedig 
. A határra vonatkozó töltéssűrűség is írható tulajdonképpen 
 alakba, mert a
határfelületet a szigetelő és a vákuum elválasztó felületének fogva fel, 
.
A szigetelők jelenlétében kialakult elektrosztatikus tér (23,15) potenciálja tehát:
 ((23,21). egyenlet),
ahol
 ((23,22). egyenlet),
 ((23,23). egyenlet)
a polarizációs töltéssűrűség. F" a töltött vezetők felülete, F' a két szigetelő elválasztó felülete, F pedig a szigetelő külső határoló felülete. Ha a szigetelő
a végtelen teret kitölti, akkor az F-re vett integrál eltűnik.
(23,21) potenciál a 12. pont alapján kielégíti a
 ((23,24). egyenlet)
egyenletet. Az
E = – grad Φ
összefüggés figyelembevételével ez a következőképpen írható:
 ((23,25). egyenlet).
Ebből átrendezéssel adódik, hogy

---