Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
76
 ((25,20). egyenlet),
ahol 
a a –e töltésből a +e-be vezető vektor (lásd az 5. ábrát). A Φ(r + a) függvényt Taylor-sorba fejtve:
 ((25,21). egyenlet).
Mivel 
a abszolút értéke kicsi, a magasabb rendű deriváltakat elhagyjuk. (25,21) figyelembevételével az U
d
 energia a következő alakot veszi fel:
 ((25,22). egyenlet),
ahol 
p = ea a dipólus dipolmomentuma. Pontszerű dipólus esetén (25,22) az energia pontos kifejezését adja.
Thomson tétele. Az elektrosztatikai probléma megoldásának
egyértelműsége
Tételezzük fel, hogy a végtelen teret szigetelő tölti ki, amelyről most nem tesszük fel, hogy homogén. A szigetelőben legyen ϱ = ϱ(
r) sűrűségű térfogati
töltéseloszlás és töltött vezetők. Mint korábban mondottuk, az általános esetben csak azt tudjuk előre megadni, hogy mennyi az egyes vezetők
össztöltése. Ezek legyenek rendre e
k
 (k = l, 2, ...). E töltésrendszer által keltett elektrosztatikus tér alapegyenletei a következők:
 ((26,1). egyenlet),
 ((26,2). egyenlet),
 ((26,3). egyenlet),
 ((26,4). egyenlet).
A (26,2) egyenletből következik, hogy a térnek van potenciálja:
 ((26,5). egyenlet),
amely a vezetők felületén állandó, tehát

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
77
 ((26,6). egyenlet),
továbbá (26,4) alapján kielégíti az
 ((26,7). egyenlet)
mellékfeltételi egyenleteket. A (26,1)–(26,7) egyenleteket kielégítő 
E, D megoldásokat nevezzük elektrosztatikai megoldásoknak.
Tételezzük  fel,  hogy  az 
E',  D'  terek  szintén  megoldásai  a  (26,1),  (26,3)  és  (26,4)  egyenleteknek,  de  az  előbbitől  különböznek.  A  (26,5)  (26,6)
egyenletek teljesülését ezektől egyelőre nem követeljük meg. Fennállnak tehát a következő összefüggések:
 ((26,1a). egyenlet),
 ((26,3a). egyenlet),
 ((26,4a). egyenlet).
Az 
E' és E térerősségek különbségét jelöljük   -vel:
 ((26,8). egyenlet).
Eszerint fennáll a
 ((26,9). egyenlet)
összefüggés is.
A (26,4), (26,4a) és (26,9) egyenletekből következik:
 ((26,10). egyenlet).
A (26,1), (26,1a) és (26,9) alapján pedig érvényes a
 ((26,11). egyenlet)

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
78
egyenlet.
Írjuk fel a vesszős tér energiájának kifejezését:
 ((26,12). egyenlet).
A jobb oldali utolsó integrált jelöljük  -vel, és alakítsuk át (26,5) figyelembevételével:
.
Mivel a vezetők belsejében grad Φ azonosan zérus, ez az integrál a vezetőkön kívüli térre terjesztendő ki. Az egész rendszert vegyük körül egy nagy
F' zárt felülettel, amelyen kívül már nincs sem vezető, sem töltés, és végül F' tartson a végtelenhez. A
vektoranalitikai összefüggés alapján   a következő alakot veszi fel:
.
A (26,11) egyenlet miatt a második integrál eltűnik, az első pedig Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható:
.
Ha 
, az F'-re vett integrál eltűnik, mert Φ az   szerint,   pedig   szerint tart zérushoz, és az r
2
 szerint végtelenhez tartó dF felületelemmel
szorozva is zérushoz tart az integrál. Tehát
 ((26,13). egyenlet).
Ez pedig (26,10) szerint zérus. Ennélfogva, az 
E', D' tér energiája:

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
79
 ((26,14). egyenlet).
Mivel az 
 integrandusz pozitív, az integrál is az. Tehát
 ((26,15). egyenlet).
Ez az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az elektrosztatikai megoldások energiája a minimális energia. Más szóval: az elektrosztatikai egyensúlyhoz a
minimális térenergia tartozik, hasonlóan a mechanikai stabilis egyensúly esetéhez, ahol azt a potenciális energia minimuma jellemzi. Ezt nevezzük
Thomson-tételnek.
Ha feltesszük, hogy a vesszős tér a (26,5) és (26,6) egyenleteket is kielégíti:
,
,
akkor a fenti levezetés megismételhető úgy, hogy 
E', D' és E, D helyet cserélnek. Így azt kapnánk, hogy
 ((26,16). egyenlet).
A (26,15) és (26,16) közötti ellentmondás csak abban az esetben szűnik meg, ha 
, vagyis ha 
E' = E, D' = D. Ez pedig annyit jelent, hogy az
elektrosztatika (26,1)–(26,6) alapegyenleteinek a megoldása egyértelmű.
Azáltal, hogy a szigetelőt inhomogénnek tekintettük, a különböző szigetelők határaira vonatkozó határfeltételeket figyelmen kívül hagyhattuk. Ezzel
tulajdonképpen nem sértettük meg az általánosságot, mert ε ugrása jó közelítéssel meredek változással helyettesíthető.
Töltött testekre és szigetelőkre ható erő elektrosztatikus térben
A Bevezetésben tapasztaltra hivatkozva állapítottuk meg a pontszerű e töltésre ható erő kifejezését. Eszerint
 ((27,1). egyenlet),
ahol 
E a töltés helyén uralkodó elektromos térerősség. Az elektromos teret próbatöltéssel a (27,1) képlet alapján mérjük ki, és ennek alapján definiáltuk
az elektromos térerősséget.

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
80
Ha az elektromos töltés a V térfogatban folytonosan oszlik el ϱ = ϱ(
r) sűrűséggel, akkor az E térerősséggel leírt elektromos tér a töltésrendszerre
 ((27,2). egyenlet)
erőt fejt ki.
A ponttöltésre ható erő (27,1) képlete alapján könnyen megállapítható az az erő is, amelyet az 
E erősségű tér az elektromos dipólusra fejt ki. A
dipólust két egymáshoz igen közel levő ellentétes előjelű ponttöltésnek tekintve, a rá ható erő a két pólusra ható erő összegeként írható:
 ((27,3). egyenlet),
ahol 
E(r + a) a pozitív, E(r) pedig a negatív pólus helyén érvényes térerősséget jelenti. Az E(r + a) térerősséget Taylor-sorba fejtve, és figyelembe
véve, hogy 
a kicsi, az a-ban lineáris tagokra szorítkozhatunk:
 ((27,4). egyenlet).
Ezt a kifejezést (27,3)-ba helyettesítve, adódik:
 ((27,5). egyenlet).
Itt már figyelembe vettük, hogy e
a a dipólus p dipolmomentuma: p = ea. Megjegyezzük, hogy az (a, grad), illetve (p, grad) szimbolikus skalárszorzatnak
valójában akkor van értelme, ha az erő komponenseit írjuk fel, mert a gradiens csak skalárra van értelmezve:
 ((27,6). egyenlet)
A (27,5) kifejezés a (27,6) erőkomponensek tömörebb, szimbolikus jelölésére szolgál. Ennek ismeretében nyugodtan használhatjuk a fenti jelölést,
amely nagyon elterjedt az elméleti fizikai irodalomban.
Visszatérve a dipólusra ható erőhöz, megjegyezzük, hogy pontszerű dipólus esetén (27,5) az erő pontos kifejezését adja. (27,5)-ből látszik, hogy 
F
csak akkor különbözik zérustól, ha a tér inhomogén. Homogén erőtérben 
F = 0. Ilyenkor ugyanis a két pólusra ugyanolyan nagyságú, de ellentétes
irányú erő hat, és ezek egymás hatását lerontják (erőpár). Homogén erőtérben a dipólus és a tér közötti kölcsönhatás nem transzlációs erőben,
hanem forgatónyomatékban jelentkezik.

---