Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
81
Határozzuk meg a dipólusra ható erő momentumát azon pontra vonatkoztatva, amelyben a –e töltés van. A 38. ábrából nyilvánvaló, hogy ez a
momentum:
 ((27,7). egyenlet).
38. ábra -
Ha a dipólus pontszerű, akkor az 
E(r + a) kifejezésen a dipólus helyén vett térerősség értendő, és ekkor N a dipólus középpontjára vonatkoztatott
momentumot jelenti:
 ((27,8). egyenlet).
A (27,8) erőmomentum igyekszik a dipólus 
p dipolmomentumát az E térerősség irányába forgatni. Természetesen ez az erőmomentum homogén
erőtérben is fellép. Ekkor a dipólusra ható erőpár momentumával egyezik meg.
Ezen egyszerűbb töltésrendszerekre ható erő kifejezésének megállapítása után most foglalkozzunk az általánosabb problémával. Gondoljuk el, hogy
a térben térfogati töltések és szigetelők vannak jelen. Határozzuk meg azt az erőt, amelyet az elektromos tér ilyen általános fizikai rendszerre kifejt.
Pontosabban, célszerű az erő sűrűségét meghatározni, amely természetesen pontról pontra változik, és térfogati integrálja adja a rendszerre kifejtett
erőt.
Ha az elektromos tér által kifejtett erő hatására a testek elmozdulnak, akkor az erőtér munkát végez. Ez a munkavégzés a térenergia csökkenésével
jár együtt. Ha más energiaváltozás (pl. hő- vagy kémiai energiaváltozás) nem lépett fel, akkor az energiamegmaradás törvénye szerint a végzett
munka megegyezik a térenergia csökkenésével:
 ((27,9). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
82
A klasszikus mechanikai értelmezés szerint (27,9)-ben az U térenergia a potenciális energia szerepét játssza. Tételezzük fel, hogy U függ a rendszerre
jellemző q
k
 (k = 1, 2, ..., n) paraméterektől, amelyeket nevezzünk általános koordinátáknak. A munkavégzés során a q
k
 koordináták megváltoznak,
és a végzett munka, illetve az energiacsökkenés ezen δq
k
 változásokkal kifejezhetők:
 ((27,10). egyenlet),
 ((27,11). egyenlet).
Θ
k
-kat a mechanikában általános erőkomponenseknek neveztük. Ha a q
k
 általános koordináták függetlenek egymástól, akkor (27,9)-ből következik,
hogy Θ
k
-k a térenergia parciális deriváltjaival egyeznek meg:
 ((27,12). egyenlet).
Az erő kifejezésének meghatározása (27,12) alapján sok esetben igen egyszerű. Ennek bemutatására példaként vegyük a dipólust. Az 
E erősségű
külső térben levő dipólus U
d
 energiája (25,22) szerint a következő:
 ((27,13). egyenlet),
ahol ϑ a 
p dipolmomentum és az E térerősség iránya által bezárt szög. A dipólus energiája a dipólus x, y, z koordinátáinak és a ϑ szögnek a függvénye.
A q
k
 általános koordináták most tehát a következők: q
1
 = x, q
2
 = y, q
3
 = z, q
4
 = ϑ. A q
k
-hoz tartozó általános erőkomponensek a mechanika szerint:
 ((27,14). egyenlet).
Az első három komponens a dipólusra ható transzlációs erő három komponense, a negyedik pedig a forgatónyomaték. Számítsuk ki most ezeket
(27,13) és (27,12) alapján konkrétan:
Az első három komponens vektoriális jelöléssel egybefoglalható: 
F(F
x
, F
y
, F
z
).
 ((27,15). egyenlet).
A skalárszorzat gradiensét a vektoranalízisből ismert (lásd függelék)
grad (
p, E) = (E, grad)p + (p, grad)E + (E × rot p) + (p × rot E)

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
83
összefüggés alapján átalakítjuk. Mivel a 
p dipolmomentum nem függ a helykoordinátáktól, ezért grad p
x
 = grad p
y
 = grad p
z
 = 0, rot 
p = 0. Másrészt,
sztatikus tér esetén rot 
E = 0. Ennélfogva:
grad(
p, E) = (p, grad)E,
tehát
F = (p, grad)E,
teljes megegyezésben a (27,5) képlettel.
Az általános erő negyedik komponense:
 ((27,16). egyenlet).
Mivel ϑ ≤ π, (27,16) jobb oldala negatív. Ha valamelyik erőkomponens negatív, akkor az a hozzá tartozó koordinátát csökkenteni igyekszik. Ennélfogva
az 
N erőmomentum csökkenteni igyekszik a p dipolmomentum és az E térerősség közötti ϑ szöget. Következésképpen az N erőmomentum irány
és nagyság szerint a következő :
 ((27,17). egyenlet),
amely szintén megegyezik a más úton nyert (27,8) képlettel.
Ezek után térjünk vissza az eredetileg felvetett általános problémánkhoz; nevezetesen határozzuk meg az erősűrűség kifejezését a (27,9) képlet
alapján. Gondoljuk el, hogy az elektromos tér hatására a térben levő testek (szigetelők) pontjai végtelen kis távolsággal elmozdulnak. Az egyes
pontok elmozdulása természetesen a hely szerint más és más lehet. Ezt az infinitezimális elmozdulást egy vektortérrel jellemezzük. Jelölje 
q az
elmozdulás vektorát, amely a mondottak szerint a hely függvénye, 
q = q(r). A q elmozdulás során végzett δL munkát a
 ((27,18). egyenlet)
képlet írja le. 
f a térfogategységre ható erőt, tehát az erősűrűséget jelenti. (27,9) alapján ez a munkavégzés a térenergia csökkenésével egyenlő:
 ((27,19). egyenlet).
Ha az energiacsökkenést sikerül a jobb oldali integrális alakra hoznunk, akkor abból az erősűrűség kifejezése azonnal leolvasható. Ez szolgáltatja
a legáltalánosabb módszert az erősűrűség kifejezésének a meghatározására.

---