Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
115
.
Mivel 
j'(r') az r' vektor végpontjának (x', y', z') koordinátáitól függ, és független (x, y, z)-től:
.
Ezt figyelembe véve (36,33) így írható:
 ((36,34). egyenlet).
Az 
r – r' vektor az integrációs térfogatelemtől azon pont felé mutat, amelyben a mágneses teret számítjuk.
A 
B = μH anyagi egyenlet felhasználásával a B-t meghatározó (36,34) egyenletből a H mágneses térerősséget μ-vel való osztással kapjuk.
 ((36,35). egyenlet).
Ebből a kifejezésből látszik, hogy a 
j'(r') árameloszlás által keltett mágneses tér H erőssége nem függ az áramot körülvevő közegtől, vagyis adott
áram ugyanazt a térerősséget hozza létre vákuumban, mint valamilyen közegben. Ez azt jelenti, hogy a mágneses jelenségek elméletében a 
H
vektor játssza azt a szerepet, amit a 
D vektor játszik az elektromos jelenségek elméletében. A H és E, valamint a D és B vektorok közötti analógia
tehát csak formális. Tulajdonképpen a 
D és H, valamint a B és E vektorok állítandók egymással párhuzamba. Ebből egyúttal az is következik, hogy
a közeg ε dielektromos állandójához hasonló szerep a mágneses jelenségeknél nem a μ, hanem az l/μ együtthatónak jut. (A relativitáselméletben ez
a kapcsolat még szembetűnőbben látszik. A 
B és E vektor, valamint a D és H vektor komponensei képeznek egy-egy antiszimmetrikus tértenzort.)
Lineáris vezetők esetén a (36,35) általános képlet egyszerűbb alakot vesz fel. Lineárisnak nevezzük azt a vezetőt, amelynél az áramsűrűség vektora
párhuzamos a d
s vonalelemmel. Ekkor j dV = I ds. Így
 ((36,36). egyenlet).
A (36,36) vonalintegrál a lineáris vezetőre értendő. E képlet szerint a lineáris vezető által keltett mágneses tér úgy fogható fel, mint a d
s vonalelemek,
pontosabban az I d
s áramelemek által keltett tér szuperpozíciója (47. ábra). Nevezetesebben:
 ((36,37). egyenlet),

---

EGYENÁRAMOK
116
ahol
 ((36,38). egyenlet).
47. ábra -
Az I d
s áramelem által a P pontban keltett mágneses tér irányát a 
 vektorszorzat iránya adja, ami a rajz szerint a lap síkjára merőlegesen
befelé mutat. (A kísérleti fizikában az Ampère- vagy jobbkéz-szabály néven szerepelt.)
A (36,36) vagy a (36,38) képlet Biot–Savart-törvény néven ismeretes. Szokásosabb alakja a (36,38) abszolút értékét kifejező
képlet, ahol α a d
s vonalelem és az r – r' vektor által bezárt szöget jelenti.
Mágneses kettősréteg
Az előző pontban láttuk, hogy tetszőleges 
j(r) árameloszlás mágneses terét az A(r) vektorpotenciálból származtathatjuk. Mivel az áram által keltett
mágneses tér 
H erőssége (36,1) szerint nem rotációmentes, a tér nem írható le skalárpoten- ciállal, mint a permanens mágnesek sztatikus tere (lásd
a 28. pontot). A következőkben megmutatjuk, hogy áram által átjárt lineáris vezető mágneses tere nem egyértékű skaláris potenciállal is leírható.
Gondoljunk el vákuumban elhelyezett lineáris vezető kört, amelyben I erősségű áram folyik. A vezetőn kívül (36,1) szerint

---

EGYENÁRAMOK
117
 ((37,1). egyenlet),
továbbá mivel μ = 1, (36,2) alapján
 ((37,2). egyenlet).
(37,1)-ből következik, hogy az áramkörön kívüli térrészben 
H a φ skaláris potenciálból származtatható:
 ((37,3). egyenlet).
Ebben a tartományban φ (37,2) alapján kielégíti a
 ((37,4). egyenlet)
egyenletet.
Képzeljünk el tetszőleges F felületet, amely úgy illeszkedik az áramkörre, hogy F-nek a lineáris vezetőkör határoló görbéje. A mágneses térerősségnek
minden olyan zárt vonal mentén vett integrálja, amely nem metszi az F felületet, zérus:
 ((37,5). egyenlet).
(37,3)-at behelyettesítve kapjuk:
.
Ebben a tartományban a φ skaláris potenciál tehát folytonos egyértékű függvénynek tekinthető. Ha az integrációs út egyszer metszi az F felületet,
akkor (36,1) szerint
 ((37,6). egyenlet).
A 
H térerősség (37,3) kifejezését behelyettesítve, (37,6) a következőképpen írható:
 ((37,7). egyenlet).

---

EGYENÁRAMOK
118
Ez az egyenlet úgy értelmezhető, hogy a φ skaláris potenciál nem folytonos a zárt vonal mentén, hanem a felületen való áthaladásnál ugrása van,
amelynek nagysága 
. Jelöljük a görbe és a felület kétoldali metszőpontját P
1
-gyel, illetve P
2
-vel. Ekkor (37,7)-ből adódik:
 ((37,8). egyenlet).
Az elektromos kettősréteg elektrosztatikus terének vizsgálatánál a 20. pontban láttuk, hogy a kettősréteg potenciálja a kettősrétegen való áthaladáskor
ugrik, és az ugrás nagysága a momentumsűrűség 4π-szerese. A 28. pontban felismert analógia alapján ugyanez igaz a mágneses kettősréteg
sztatikus mágneses terének φ potenciáljára is. Nevezetesen:
 ((37,9). egyenlet),
ahol   a felületi mágneses momentumeloszlás sűrűsége. A (37,8) és (37,9) képletek összehasonlításából látszik, hogy a lineáris vezető alkotta
áramkör a keltett mágneses tér szempontjából olyan mágneses kettősréteggel helyettesíthető, amely az F felületet
 ((37,10). egyenlet)
állandó momentumsűrűséggel vonja be. Az áramkör mágneses terének nem egyértékű skaláris potenciálja (20,1) alapján a következő képlettel
adható meg:
 ((37,11). egyenlet).
A felület normális egységvektorát a felületi mágneses momentumok irányában vesszük fel. Mivel (37,6) bal oldala akkor pozitív, ha az áram irányába
nézve, a vonalat az óramutató járásával egyezően járjuk körül, a (36,6) és (37,9) egybevetéséből következik, hogy a felület normálisa irányába nézve,
az áram az óramutató járásával megegyező irányú.
Ha  a  vezetőt  μ  permeabilitású  közeg  veszi  körül,  és  ebben  keressük  a  keltett  mágneses  tér  erősségét  valamely 
r  pontban,  akkor  is  (37,11)
adja  a  tér  skaláris  potenciálját,  mivel  az  áram  által  keltett  mágneses  tér  erőssége  független  a  közegtől.  (Lásd  az  előző  pontot.)  A  kettősréteg
momentumsűrűsége azonban akkor 
. Ugyanis az elektrosztatika és magnetosztatika közötti analógia szerint a μ permeabilitású közegben a
permanens mágnesek olyan mágneses teret keltenek, mintha momentumuk μ-ed részére csökkenne a vákuumbeli értékhez képest.
Ha  az  áramkör  síkra  helyezhető,  akkor  sík  mágneses  kettősréteggel  helyettesíthető.  Ilyenkor  az  áramkör  teljes  mágneses  momentumát  is
értelmezhetjük. Ezt az I/c momentumsűrűség és a sík áramkörrel bezárt F felület szorzata adja meg:

---