Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
98
Most végezzük el azt a határátmenetet, amelynél az F
1
 és az F
2
 felületet ráhúzzuk a vezető határfelületére, miközben lim P = 0. E határátmenetnél a
palástra vett harmadik integrál zérushoz tart, mert az integrandusz korlátos, az integrációs tartomány pedig tart zérushoz. Az első két felületi integrál
a vezető határából a hasáb által kivágott F felületre vett integrálba megy át. Ha az F felület normális egységvektorát a vezetőből kifelé irányítjuk,
akkor (31,3)-ból határátmenettel a következő egyenletet kapjuk:
 ((31,4). egyenlet).
Mivel az F felület tetszőleges, ezért (31,4)-ből következik, hogy a vezető felületén az áramsűrűség normális komponense folytonosan megy át:
 ((31,5). egyenlet).
Ha a vezető szigetelőbe ágyazott, akkor 
, és így (31,5)-ből adódik, hogy   is eltűnik a szigetelővel határolt vezető felületén.
Ennek alapján könnyen beláthatjuk, hogy véges keresztmetszetű vezető tetszőleges két keresztmetszetére vonatkozó áramerősség egyenáramoknál
megegyezik egymással. Legyen a két keresztmetszet felülete q
1
, illetve q
2
. A vezetőt szigetelő vegye körül. Integráljuk a (31,1) egyenletet a q
1
-gyel
és q
2
-vel határolt vezető tartományra (lásd 40. ábra):
 ((31,6). egyenlet).
40. ábra -
A Gauss-tétel segítségével ez a következőképpen írható:
 ((31,7). egyenlet).

---

EGYENÁRAMOK
99
Mivel a vezető szigetelővel határolt felületén j
n
 = 0, a palástra vett integrál eltűnik. Az első két integrál pedig a két helyen vett áramerősséggel
azonos. Tehát
 ((31,8). egyenlet).
I
1
 a q
1
, I
2
 a q
2
 keresztmetszetre vonatkozó áramerősséget jelenti.
Áramforrások. Általánosított Ohm-törvény
Az Ohm-törvény (5,6) alatti
integrális  alakjából  látszik,  hogy  a  vezetőben  addig  folyik  áram,  amíg  a  két  pontja  között  ΔΦ  potenciálkülönbség  van.  Az  áram  hatására  a
potenciálkülönbség hamar megszűnik, és ezzel egyidejűleg leáll az elektromos töltés áramlása is, vagyis I zérussá válik. Az áram fenntartásához
tehát az kellene, hogy valamilyen „elektromotoros erő” állandó értéken tartsa a potenciálkülönbséget. Volta jött rá először (1800-ban), hogy ilyen
erők valójában léteznek a természetben. Két különböző test érintkezésekor a kettő között jellegzetes potenciálkülönbség alakul ki, jeléül annak, hogy
ott ilyen „elektromotoros erő” lép fel. Ugyanezt tapasztaljuk a galvánelemeknél is, ahol a disszociált elektrolitben koncentrációkülönbségek fordulnak
elő. Az elektromos töltéssel rendelkező ionok a nagyobb koncentráció helyéről a kisebb felé diffundálnak, és így töltésmozgást, tehát elektromos
áramot eredményeznek. Másik példa a termoelem, amelynek egyik forrasztási helyét melegítve, szintén áram indul meg.
Azokon a helyeken, ahol ezek az elektromotoros erők fellépnek, éppen úgy részt vesznek a töltés mozgatásában, mint a potenciálkülönbséggel
kapcsolatos elektromos térerősség. Ezeken a helyeken 
E = 0 lehet akkor is, ha j ≠ 0. Ezért az Ohm-törvényt általánosítanunk kell a következő alakban:
 ((32,1). egyenlet),
ahol 
E' az elektromotoros erőre jellemző vektor, amely általában a helynek a függvénye. Azokat a helyeket nevezzük áramforrásoknak, ahol E' ≠ 0.
Egyenáramok elektromos terének meghatározása
Az egyenáramok alapfeladataiban adott mennyiségek a következők: ismeretes az 
E' = E'(r) vektor mint a helynek a függvénye (az áramforrások
helyén különbözik csak zérustól) és a vezetőkre jellemző σ(
r) vezetőképesség, amely inhomogén vezetők esetén szintén függ a helytől, és csak
homogén vezetőknél állandó. Keressük a 
j(r) árameloszlást és az általa keltett E(r) elektromos térerősséget.
A (III) egyenletből következik, hogy az egyenáramok elektromos tere is skalárpotenciálból származtatható:

---

EGYENÁRAMOK
100
 ((33,1). egyenlet).
Az elektromos tér meghatározását tehát itt is visszavezethetjük a Φ(x, y, z) potenciáltér meghatározására. A Φ-re vonatkozó differenciálegyenletet
a következőképpen kapjuk.
A (32,1) és (33,1) összefüggéseket behelyettesítjük a (31,1) egyenletbe:
 ((33,2). egyenlet).
A Φ potenciált (33,2) megoldásával kapjuk. Homogén vezetőben az áramforráson kívül (
E' = 0) Φ a
 ((33,3). egyenlet)
egyenletet  elégíti  ki.  Az  elektrosztatika  (10,5)  egyenletével  összehasonlítva,  látszik,  hogy  homogén  vezetőben  egyenáramok  esetén  zérus  az
elektromos töltés ϱ térfogati sűrűsége. Ezt a fémekre vonatkozó anyagszerkezeti ismeretek alapján érthetjük meg. A vezetési áram negatív töltésű
elektronok  mozgásából  áll.  A  negatív  elektronok  a  pozitív  fémionok  rácsterében  mozognak,  és  egyenáram  esetén  minden  elemi  tartományban
ugyanannyi negatív töltés van, mint pozitív.
A (33,2), illetve (33,3) egyenlet megoldásánál figyelembe kell vennünk a vezetők és a szigetelők határára vonatkozó határfeltételi egyenleteket is,
amelyek átírhatók a potenciál gradiensének normális, illetve tangenciális komponensére vonatkozó egyenletekké.
Gondoljunk el két különböző vezetőt. Egyik vezetőképessége legyen σ
1
, a másiké σ
2
. Meghatározzuk a két vezető elválasztó felületére vonatkozó
határfeltételeket.
Az elektromos térerősség tangenciális komponensére vonatkozó
 ((33,4). egyenlet)
határfeltétel [(6,9) képlet] most is érvényes. A térerősségvektor normális komponensére vonatkozó határfeltételeket pedig (31,5)-ből kapjuk a 
j =
σ
E Ohm-törvény felhasználásával:
 ((33,5). egyenlet).
A (33,4) és (33,5) határfeltételek a (33,1) összefüggés alapján a potenciál gradiensének megfelelő komponensére is átírhatók. Eszerint a potenciálnak
két vezető közeg határán ki kell elégítenie a következő egyenleteket:
 ((33,4'). egyenlet),

---