Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
105
 ((35,6). egyenlet).
43. ábra -
A (2) elágazási pontban:
 ((35,7). egyenlet).
A három zárt áramkörre alkalmazva (36,5)-öt, kapjuk:
 ((35,8). egyenlet),
 ((35,9). egyenlet),
 ((35,10). egyenlet).
Ebben a problémában ismert az  ,   és az R
1
, R
2
, R
3
; ismeretlenek az I
1
, I
2
, I
3
 áramerősségek. Meghatározásukra három független egyenlet
elegendő. Ez az öt egyenlet valóban nem mind független, ugyanis (35,7) a (35,6)-nak következménye. Hasonlóan a (35,9) egyenlet a (35,8) és
a (35,10) egyenletből már következik. Ennélfogva a három független egyenlet pl. a (35,6), (35,8) és a (35,10). E három egyenlet egyértelműen
meghatározza a három áramerősséget.
A Kirchhoff-törvényeknek a gyakorlati elektromosságtani problémáknál van fontos szerepük. Pl. ezekből a törvényekből következnek azok a kísérleti
fizikából már ismert szabályok, amelyek a sorba, illetve párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének a kiszámítására vonatkoznak. Továbbá, az
áramkörökkel kapcsolatos elektrotechnikai számításoknak ezek képezik az alapját.

---

EGYENÁRAMOK
106
Egyenáramok mágneses tere. Biot–Savart-törvény
A Maxwell-egyenletek meghatározásánál már hivatkoztunk arra a tapasztalati tényre, hogy az elektromos áram maga körül mágneses teret kelt.
Ennek a mágneses térnek fizikai sajátságait az (I) és (IV) Maxwell-egyenlet írja le. Eszerint az egyenáram által keltett mágneses tér alapegyenletei:
 ((36,1). egyenlet).
 ((36,2). egyenlet).
Ha a vezetők nem vákuumban, hanem valamilyen közegben vannak, akkor ezekhez még hozzá kell vennünk a közegre jellemző anyagi egyenletet
is, amely izotrop közeg esetén a következő:
 ((36,3). egyenlet).
μ a makroszkopikus anyag mágneses permeabilitása.
A 
j áramsűrűséget a hely ismert függvényének tekintjük, tehát j = j(r) adott. Feladatunk az általa keltett mágneses tér meghatározása.
Egyszerűbb esetekben a 
H térerősség a (36,1) egyenlet integrális alakjából könnyen meghatározható. Az általános eset tárgyalása előtt előbb ilyen
példát tekintünk.

---

EGYENÁRAMOK
107
1. Végtelen egyenes vezető tere
44. ábra -
Gondoljunk el végtelen hosszú, egyenes vezetőt, amelyben I erősségű áram folyik. Egyszerű meggondolással belátható, hogy a mágneses tér vonalai
a vezetőt körök mentén fogják körül, amelyek középpontjai a vezető tengelyvonalán vannak. A mágneses tér nem lehet radiális irányú, mert akkor
a vonalaknak kezdetük volna a vezető tengelyén, ami ellentmondana a (36,2) egyenletnek. Ha a vezető tengelyével párhuzamosan haladnának,
akkor pedig a (36,1) egyenlettel kerülnénk ellentmondásba. Ennek belátása végett tételezzük fel egyelőre, hogy 
H a vezető tengelyével párhuzamos.
Vegyünk fel a vezetőn kívül egy négyszöget, és integráljuk a (36,1) egyenletet e zárt görbe által meghatározott felületre, továbbá vegyük figyelembe
a Stokes-tételt, amely szerint a felületi integrál vonal menti integrállá alakítható:
,
továbbá
 ((36,4). egyenlet).
(36,4) jobb oldala azért zérus, mert a vezetőn kívül van a görbe, ott pedig 
j ≡ 0. A B → C, illetve D → A vonalon vett integrálok zérussal egyenlők, mert
feltevésünk szerint 
H merőleges az integrációs útra. Marad tehát az első és a harmadik integrál. A vezetőtől távolodva, a mágneses tér erőssége
csökken, ezért az AB szakaszon vett integrál értéke nagyobb, mint a CD szakaszon vett integrálé. Tehát, ha a feltevésünk igaz lenne, akkor

---

EGYENÁRAMOK
108
lenne, ami ellentmondana a (36,1) alapegyenletnek. Mivel a tér hengerszimmetrikus, más megoldás nem lehet, mint csak az, amelynél a mágneses
térerősség vonalai körök formájában fogják körül a vezetőt. Gondoljunk el egy r sugarú kört a vezetőn kívül, amelynek középpontja a vezető tengelyén
van, és integráljuk a (36,1) egyenletet a kör által meghatározott felületre:
 ((36,5). egyenlet).
A bal oldali integrál Stokes-tétellel körintegrállá alakítható, a jobb oldali integrál pedig az áram I erősségével egyenlő. Tehát
 ((36,6). egyenlet).
Mivel a kör kerülete mentén H nagysága állandó, ezért kiemelhető az integrál elé, továbbá 
H és ds iránya megegyezik, ezért a H ds skalárszorzat
a vektorok abszolút értékének szorzatával egyenlő. Tehát:
 ((36,7). egyenlet).
Az integrál a kör kerületét adja, és így (36,7)-ből kapjuk:
,
amiből a mágneses tér erősségének nagyságára adódik:
 ((36,8). egyenlet).
A végtelen hosszú egyenes vezetőben folyó I erősségű áram által keltett mágneses térerősség iránya azimutális, nagysága pedig fordítva csökken
a tengelytől mért távolsággal.
Határozzuk meg a térerősséget a vezető belsejében is. A térerősség ott is azimutális irányú. Integráljuk 
H-t a vezető belsejében levő körre, amelynek
középpontja a tengelyen van. (36,l)-ből a Stokes-tétel alapján kapjuk:

---

EGYENÁRAMOK
109
 ((36,9). egyenlet).
A jobb oldali integrál most nem a teljes I áramerősséget adja, mert az F felület nem azonos a vezető keresztmetszetével. Feltéve, hogy 
j a vezető
keresztmetszetében állandó, (36,9)-ből a fenti meggondolásokkal kapjuk, hogy
 ((36,10). egyenlet).
A jobb oldalt átalakítjuk úgy, hogy szorzunk és osztunk a körkeresztmetszetű vezető R sugarának négyzetével:
.
Mivel πR
2
 a vezető keresztmetszetének területe, 
 az I áramerősséggel egyenlő. Ennélfogva a térerősség abszolút értéke a vezető belsejében
a tengelytől r távolságra:
 ((36,11). egyenlet).
Tehát egyenesen arányos az r távolsággal. A (36,8) és a (36,11) eredményt egybefoglalva írhatjuk:
 ((36,12). egyenlet)
A vezető határán a külső és belső tér megegyezik és értéke (45. ábra):
 ((36,13). egyenlet).

---