Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
139
 ((42,5). egyenlet).
Az áram erőssége a t = 0-kor érvényes zérus értékről fokozatosan nő fel az 
 értékre. Mennél nagyobb az L önindukciós együttható az R
ellenálláshoz képest, annál lassabban alakul ki az 
 erősségű állandó áram.
Most vizsgáljuk meg, hogyan változik az áramerősség, ha a t = t
0
 időpillanatban kikapcsoljuk az áramforrást (52. ábra).
52. ábra -
A t > t
0
 időben 
. A megoldandó differenciálegyenlet tehát:
 ((42,6). egyenlet).
Ennek megoldása:
 ((42,7). egyenlet).
Az I
0
 integrációs állandó értékét a t = t
0
-ra vonatkozó 
 kezdőfeltételből kapjuk:
.

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
140
Tehát:
 ((42,8). egyenlet).
A (42,8)-at (42,7)-be beírva, az I áramerősségre adódik:
 ((42,9). egyenlet).
Az áramforrás kikapcsolása után az áramerősség a t = t
0
-hoz tartozó 
 értékről exponenciálisan csökken zérusra. A csökkenés annál gyorsabb,
minél kisebb az L önindukciós együttható az R ellenálláshoz képest.
Azt látjuk tehát, hogy az áramforrás bekapcsolásakor csak fokozatosan alakul ki az állandó 
 áramerősség, a kikapcsoláskor pedig fokozatosan
szűnik meg. Ezt a jelenséget tranziens jelenségnek nevezzük. Okát a 
 indukált elektromotoros erő felléptében látjuk. Az önindukció révén ez
az elektromotoros erő ellentétes irányú áramot indukál, mint a be-, illetve kikapcsolt   elektromotoros erő. Ezért a bekapcsoláskor csökkenti annak
hatását, a kikapcsoláskor pedig még egy ideig fenntartja az áramot.
Foglalkozzunk most azzal az esettel, amikor az áramkörbe bekapcsolt áramforrás elektromotoros ereje az időnek periodikus függvénye:
.
Az áramerősség időfüggését meghatározó differenciálegyenlet a következő:
 ((42,10). egyenlet).
A t = 0 időpillanatban legyen az áramerősség zérus: I(0) = 0.
A (42,10) típusú differenciálegyenlet megoldásánál célszerű az
 ((42,11). egyenlet)
komplex egyenletből kiindulni. Könnyen belátható, hogy a (42,11) egyenlet megoldásának valós része megoldása a (42,10) egyenletnek. Tegyük fel,
hogy y megoldása a (42,11) egyenletnek. Akkor y komplex konjugáltja, az y* kielégíti a (42,11) egyenlet komplex konjugáltját:

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
141
 ((42,12). egyenlet).
Képezzük a (42,11) és a (42,12) egyenlet összegének a felét:
 ((42,13). egyenlet).
Az 
 a (42,10) eredeti egyenletünket elégíti ki. Mivel az 
 az y(t) komplex függvény valós része, ezért a megoldandó (42,10) egyenlet I(t)
megoldását a (42,11) komplex egyenletet kielégítő y(t) függvény valós része adja:
 ((42,14). egyenlet).
A  (42,11)  egyenlet  inhomogén,  állandó  együtthatós,  lineáris,  elsőrendű  differenciálegyenlet.  Ennek  általános  megoldását  úgy  kapjuk,  hogy  a
megfelelő homogén egyenlet általános megoldásához hozzáadjuk az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. Utóbbit az
 ((42,15). egyenlet)
alakban keressük. Tegyük fel, hogy y
p
 kielégíti a (42,11) egyenletet. Tehát behelyettesítésével a következőt kapjuk:
 ((42,16). egyenlet).
Ebből az A együtthatóra adódik:
 ((42,17). egyenlet).
A partikuláris megoldás tehát:
 ((42,18). egyenlet).
A homogén egyenlet megoldása:
 ((42,19). egyenlet).

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
142
A (42,11) egyenlet általános megoldását – a mondottak szerint – (42,18) és (42,19) összege adja meg:
 ((42,20). egyenlet).
Az I(t) áramerősség (42,11) szerint y valós részével egyenlő:
 ((42,21). egyenlet)
A B integrációs állandó meghatározásához vegyük figyelembe a kezdeti feltételt. Mivel I(0) = 0,
 ((42,22). egyenlet).
Az áramerősség (42,21) kifejezését egyszerűbb alakba írhatjuk az
 ((42,23). egyenlet)
jelölések bevezetésével. (Az 
; 
 kifejezések felfoghatók egy δ szög cosinusának, illetve sinusának, mert négyzetösszegük 1.)
A (42,22) és (42,23) alapján az áramerősség a következő alakba írható:
 ((42,24). egyenlet)

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
143
A szögletes zárójeles kifejezés második tagja – a homogén egyenlet megoldása – a fentebb tárgyalt tranziens jelenséget írja le, amely az idővel
exponenciálisan zérushoz tart. Az R ellenállás és L önindukciós együttható viszonyától függően ez a második tag elég hamar eltűnik. (Elméletileg
a 
 esetén, de gyakorlatilag igen gyorsan.)
Olyan t időtartományban, amikor a második tagtól már eltekinthetünk, az áramerősség az időnek tiszta periodikus függvénye:
 ((42,25). egyenlet).
Az I
0
 amplitúdót és a δ fázisszöget a vezetőkörre jellemző R, L állandók és az áramforrás elektromotoros erejének   amplitúdója, valamint ω
körfrekvenciája határozza meg:
 ((42,26). egyenlet).
 ((42,27). egyenlet).
(42,25)-ből látszik, hogy az áramerősség ugyanakkora frekvenciával rezeg, mint az elektromotoros erő, de az áramerősség δ fázisszöggel késik az
elektromotoros erőhöz képest. Ez azt jelenti, hogy az áramerősség   idővel később veszi fel maximumát, mint az elektromotoros erő.
Az áramerősség (42,25) kifejezése az egyenáramoknál megismert 
 Ohm-törvényhez hasonló alakra is hozható:
 ((42,28). egyenlet).
A  nevezőben  az  R  ohmikus  ellenállás  helyett  a 
  kifejezés  áll.  Ez  a  mennyiség  a  vezetőkörre  jellemző  R-en  és  L-en  kívül  függ  az
elektromotoros erő (és az áramerősség) frekvenciájától is. A 
 mennyiséget impedanciának nevezzük. A gyök alatt az ohmikus ellenállás
négyzete mellett az ωL induktív ellenállás négyzete szerepel.
Az elektrotechnikában szokás az itt szereplő ellenállásokra komplex írásmódot használni. Az R ohmikus ellenállás valós, az ωL induktív ellenállás
helyett pedig az iωL képzetes mennyiséget tekintjük. A kettőből képzett R + iωL komplex szám abszolút értéke az impedancia, argumentuma pedig
a δ fázisszög:

---