Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
144
.
Az 53. ábra a komplex síkon való szemléltetést mutatja.
53. ábra -
Befejezésül vizsgáljuk meg az energiaviszonyokat és az áram teljesítményét. Induljunk ki az
alapegyenletből. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát I-vel:
 ((42,29). egyenlet).
Kis átalakítással ez a következő alakba írható:
 ((42,30). egyenlet).
A bal oldalon az áramforrás elektromotoros erejének 1 s-ra eső munkája, vagyis a teljesítmény áll. Ez a teljesítmény fedezi az ellenállásban időegység
alatt keletkezett Joule-hőt 
 és szolgáltatja a mágneses energia növekedését 
. A (42,30) egyenlet tehát az energiaegyenlet, amely az
energiamegmaradás törvényét fejezi ki RL kör esetén.
Számítsuk ki az   teljesítményt periodikusan változó elektromotoros erő esetén:

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
145
 ((42,31). egyenlet).
Gyakorlati szempontból a teljesítmény időbeli középértéke az érdekesebb, mert a pillanatnyi teljesítmény az időben gyorsan változik. Határozzuk
meg (42,31) egy periódusra vett középértékét (amelyet felülhúzással jelölünk):
Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy
,
.
Ezért:
 ((42,32). egyenlet).
Az 
 mennyiség megegyezik az 
 elektromotoros erő négyzetének középértékéből képzett négyzetgyökkel:
 ((42,33). egyenlet).
Hasonlóképpen 
. A 
, illetve a 
 mennyiséget az elektromotoros erő, illetve az áramerősség effektív értékének nevezzük:

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
146
 ((42,34). egyenlet).
A teljesítmény középértéke az effektív elektromotoros erővel és effektív áramerősséggel a következőképpen fejezhető ki:
 ((42,35). egyenlet).
Eszerint a teljesítmény középértéke arányos a fáziskésés cosinusával. Ha 
, akkor 
. A (42,30) egyenletből következik, hogy
 ((42,36). egyenlet).
Így a 
 határesetben a Joule-hő is eltűnik.
A (42,27) egyenlet szerint a 
 határeset kétféleképpen érhető el. 1. Az ωL mennyiség rögzített értéke mellett R → 0. Ebben az esetben a
Joule-hő azért tűnik el, mert a kör ohmikus ellenállása tart zérushoz. 2. Az ohmikus ellenállás állandó értéke mellett az 
. Ebben az esetben a
 impedancia is végtelenhez tart, így (42,26) szerint 
, és a Joule-hő ezért tűnik el. Ekkor az effektus középértéke nemcsak a cos δ miatt,
hanem az 
 miatt is zérushoz tart. A 
 szög közelében az effektus középértéke I-hez képest tehát másodrendű kicsi. Az ilyen áramot nevezzük
„wattnélküli” áramnak. Ennek energiafogyasztása gyakorlatilag zérusnak tekinthető. Csengőinduktorban vagy terheletlen transzformátorban ilyen
áram folyik.
Két induktíve csatolt áramkör. Transzformátor
Tekintsünk  két  egymás  közelében  levő  áramkört,  amelyekben  ellenállások  és  tekercsek  vannak.  Tételezzük  fel,  hogy  az  első  körbe  időben
periodikusan változó elektromotoros erő van beiktatva:
 ((43,1). egyenlet).
Az egyik kör mágneses folyama a két áramkör kölcsönös helyzetétől függően részben vagy egészben átmegy a másik körön. A (43,1) elektromotoros
erő az első körben időben periodikus áramerősséget kelt. Ennek időben változó mágneses tere az indukciótörvény értelmében a második körben
áramot indukál. Mivel az I
1
 áramerősség frekvenciája megegyezik az elektromotoros erő frekvenciájával (lásd előző pontot), az általa keltett mágneses
tér és így a második körben indukált I
2 
áram is ω frekvenciával rezeg. A két áramkörben kialakult áramerősségeket (41,3) alapján a következő
differenciálegyenletekből lehet meghatározni:

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
147
 ((43,2). egyenlet)
Az I
1
, I
2
 áramerősségek – az előző pont alapján – az időnek periodikus függvényei, de az amplitúdójuk és fáziskésésük különbözhet egymástól:
 ((43,3). egyenlet)
Feladatunk az  ,   amplitúdók és a δ
1
, δ
2
 fáziskésések meghatározása. E célból helyettesítsük be a (43,3) próbakifejezéseket a (43,2) egyenletekbe.
Az e
iωt
 közös tényező elhagyása után kapjuk:
 ((43,4a). egyenlet),
 ((43,4b). egyenlet).
Vezessük be az
jelöléseket. Ezekkel a (43,4a) és a (43,4b) egyenlet a következő alakot veszi fel:
 ((43,5a). egyenlet),
 ((43,5b). egyenlet).
Ezekből egyszerűen adódik:
 ((43,6). egyenlet),
 ((43,7). egyenlet).

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
148
Ha a két egyenlet mindkét oldalán szétválasztjuk a valós és képzetes részeket, négy algebrai egyenletet kapunk az  ,  , δ
1
, δ
2
 valós mennyiségekre.
Ezeket  itt  nem  számítjuk  ki  (gyakorlásként  az  olvasóra  bízzuk),  hanem  helyette  az  ,    amplitúdók  viszonyát  és  a  δ
2
  –  δ
1
  fáziskülönbséget
határozzuk meg. A (43,7) egyenletet a (43,6)-tal elosztva kapjuk:
 ((43,8). egyenlet).
Válasszuk szét az egyenlet mindkét oldalán a valós és képzetes részt:
.
A valós részeket a valóssal, a képzetes részeket a képzetessel egyenlővé téve, adódik:
 ((43,9). egyenlet),
 ((43,10). egyenlet).
E két egyenlet négyzetre emelésével és összeadásával, majd gyökvonással kapjuk a két amplitúdó hányadosát:
 ((43,11). egyenlet).
A (43,10) egyenletet (43,9)-cel elosztva, a 
 fáziskülönbség tangensét kapjuk:
 ((43,12). egyenlet).
(43,11)-ből lászik, hogy a második körben indukált áram amplitúdója az első körben folyó áram amplitúdójához képest annál nagyobb, mennél
nagyobb  a  két  áramkör  L
12
  kölcsönös  indukciós  együtthatója,  tehát  mennél  szorosabb  a  két  kör  csatolása,  valamint  mennél  kisebb  a  második
kör 
 impedanciája. A (43,12) egyenlet pedig a két áramerősség 
 fáziskülönbségére ad felvilágosítást. Mivel 
, a 
fáziskülönbség a (π/2, π) intervallumba esik. Ha 
, akkor 
, vagyis

---