Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
159
 ((44,37). egyenlet),
ahol
az elektromotoros erő, illetve az áramerősség effektív értéke.

---

160
7. fejezet - VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
Az elektromágneses tér alaptörvényeinek megismerése után a II–V. fejezetekben egyszerűbb elektromos és mágneses terek speciális tulajdonságait
tanulmányoztuk. Először az időben állandó tereket vizsgáltuk, majd a kvázistacionárius áramoknál foglalkoztunk változó terekkel, de itt is figyelmen
kívül hagytuk az elektromos tér időbeli változásának hatását a mágneses térre. A következőkben az általános esetet tekintjük, nevezetesen az időben
és térben változó elektromágneses tér sajátságait tanulmányozzuk.
Mint az 5. pontban megismertük, a tetszőleges töltés- és árameloszlás által keltett elektromos és mágneses teret a Maxwell-egyenletek írják le:
 ((VI.1). egyenlet).
ahol 
i a konduktív és konvektív áramsűrűség összege:
i = j + ϱv.
A (VI.1) differenciálegyenletek kiegészülnek a közegre jellemző, ún. anyagi egyenletekkel és a 6. pontban megismert határfeltételekkel. Izotrop közeg
esetén az anyagi egyenletek:
D = εE, B = μH, j = σ(E + E').
A fenti differenciálegyenletek a fenomenológiai elektrodinamika keretein belül a legáltalánosabb elektromágneses terek törvényszerűségeit helyesen
írják le.
Az elektromágneses potenciálok
Tételezzük fel, hogy 
i = i(r, t) és ϱ = ϱ(r, t) ismert függvényei a helynek és időnek. Feladatul tűzzük a térmennyiségek – tehát a térerősségek –
meghatározását.
A negyedik Maxwell-egyenlet kielégíthető, ha 
B-t egy A(r, t) vektortér rotációjaként vesszük fel:
 ((45,1). egyenlet).

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
161
Írjuk be ezt a kifejezést a harmadik Maxwell-egyenletbe:
.
A helykoordináták szerinti és az idő szerinti differenciálhányadosok felcserélésével (feltesszük, hogy ennek feltételei teljesülnek) ez az egyenlet a
következő alakba írható:
 ((45,2). egyenlet).
Ebből az egyenletből következik, hogy az 
 vektor egy 
 skalártér negatív gradienseként állítható elő:
.
Átrendezéssel ez a következőképpen írható:
 ((45,3). egyenlet).
Az 
A vektort vektorpotenciálnak, a Φ skalárt skalárpotenciálnak, A-t és Φ-t együtt elektromágneses potenciáloknak nevezzük.
Ha az elektromágneses potenciálokat sikerül az áram- és töltéseloszlásból meghatároznunk, akkor a (45,1), (45,3) és az anyagi egyenletek alapján
a térerősségek egyszerű differenciálással adódnak.
Mielőtt az elektromágneses potenciálok meghatározására szolgáló differenciálegyenleteket felírnánk, megmutatjuk, hogy a 
B, E, valamint az A, Φ
között fennálló (45,1) és (45,3) egyenletek nem teremtenek egyértelmű kapcsolatot. Nevezetesen az
 ((45,4). egyenlet)
transzformációval bevezetett 
A', Φ' potenciálok ugyanazt a B-t, illetve E-t adják, mint az A, illetve Φ. A 
 skalár tetszőleges függvénye a
koordinátáknak és az időnek. Az 
A'-höz és a Φ'-höz tartozó vektorokat jelöljük B'-vel és E'-vel. Könnyen belátható, hogy B' = B, E' = E.
B' = rot A' = rot (A + grad χ) = rot A + rot grad χ = rot A = B.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
162
Hasonlóképpen:
,
mivel az idő és helykoordináták szerint képezett differenciálások felcserélhetők.
A (45,1) és (45,3) kifejezésekkel bevezetett elektromágneses potenciálok tehát csak a (45,4) transzformáció erejéig vannak meghatározva. Ezt a
körülményt felhasználjuk majd arra, hogy olyan potenciálokat vezetünk be, amelyekkel a lehető legegyszerűbb alakra hozhatók a potenciálokat
meghatározó differenciálegyenletek. A (45,4) transzformációt mértéktranszformációnak nevezzük. Mivel ez a transzformáció a térerősségeket nem
változtatja meg, a Maxwell-egyenletek vele szemben invariánsak.
A III. és IV. Maxwell-egyenletet az elektromágneses potenciálok bevezetésével már kielégítettük. Hátra van még az első két Maxwell-egyenlet. Ezek
szolgáltatják a potenciálok differenciálegyenleteit. Tételezzük fel, hogy a közeg homogén, tehát 
, 
, és helyettesítsük be a 
B és E
(45,1), illetve (45,3) kifejezését az első két Maxwell-egyenletbe. Az anyagi egyenletek felhasználásával kapjuk a következő két egyenletet:
 ((45,5). egyenlet),
 ((45,6). egyenlet).
A
,
vektoranalitikai összefüggések figyelembevételével a (45,5), (45,6) egyenletek a következő alakba írhatók:
 ((45,7). egyenlet),
 ((45,8). egyenlet).
Ezek az egyenletek egyszerűbb alakot vesznek fel akkor, ha a (45,4) mértéktranszformációval olyan potenciálokat vezetünk be, amelyek kielégítik a

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
163
 ((45,9). egyenlet)
feltételi egyenletet. Utóbbit Lorentz-feltételnek nevezzük.
A (45,9)-et kielégítő potenciálok differenciálegyenlete:
 ((45,10). egyenlet),
 ((45,11). egyenlet).
Az  adott  áram-  és  töltéseloszlás  elektromágneses  terének  a  meghatározását  az  elektromágneses  potenciálok  bevezetésével  visszavezettük  a
potenciálok meghatározására. Utóbbiakat a (45,10), (45,11) és (45,9) differenciálegyenletek megoldásával nyerjük. A potenciálok (45,10), (45,11)
egyenletei a Lorentz-feltétellel együtt tehát ekvivalensek a Maxwell-egyenletekkel.
A (45,4) transzformációval kapcsolatban megjegyezzük, hogy a Lorentz-feltétel nem invariáns vele szemben. Ugyanis, ha 
A, Φ kielégítik a (45,9)
feltételi egyenletet, a transzformált 
A', Φ' a
 ((45,12). egyenlet)
egyenletet elégíti ki. A (45,12) egyenlet jobb oldala tetszőleges χ függvény esetén általában nem zérus. Azonban, ha olyan χ-t választunk, amely a
egyenlet megoldása, akkor a transzformált potenciálok is eleget tesznek a Lorentz-feltételnek.
Ha a Lorentz-feltételt nem kötjük ki, akkor az elektromágneses potenciálokat a (45,7) és (45,8) egyenletekből kell meghatároznunk. A Lorentz-
feltételnek tehát nincs fizikai jelentése, csupán a feladat megoldását teszi egyszerűbbé, mert ezzel a potenciálok egyenletei a könnyebben megoldható
(45,10), (45,11) alakot veszik fel.
Retardált és avanzsált potenciálok
Az 
i = i(r, t) és ϱ = ϱ(r, t) áram-, illetve töltéseloszlás által keltett elektromágneses tér meghatározását az előző pontban visszavezettük az A, Φ
elektromágneses potenciálok meghatározására. Keressük tehát a (45,10), (45,11) egyenletek olyan megoldását, amely kielégíti a (45,9) feltételt.

---