Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
164
Stacionárius esetben ezek az egyenletek az egyenáramok mágneses terének kiszámításánál bevezetett vektorpotenciálra vonatkozó
 ((46,1). egyenlet)
egyenletekbe, valamint az elektrosztatikus potenciál Poisson-egyenletébe mennek át:
 ((46,2). egyenlet).
A 36. és 12. pontokban láttuk, hogy (46,1) és (46,2) megoldását integrálalakban elő lehet állítani [lásd a (12,7) és (36,27) képleteket]:
 ((46,3). egyenlet),
 ((46,4). egyenlet),
ahol 
; 
.
A (45,10) és (45,11) d’Alembert típusú differenciálegyenletek megoldási módszereit itt nem ismertetjük, hanem csupán igazoljuk, hogy a megoldások
a (46,3)-hoz és a (46,4)-hez hasonló alakban írhatók fel. Nevezetesen:
 ((46,5). egyenlet),
 ((46,6). egyenlet),
ahol
 ((46,7). egyenlet).

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
165
Ezek  a  kifejezések  a  következőképpen  értelmezhetők:  az  elektromágneses  potenciálok  értékét  az  x,  y,  z  pontban,  a  t  időpillanatban  az  egyes
térfogatelemekben levő áram- és töltéssűrűségeknek nem a t időponthoz tartozó értékei szabják meg, hanem a korábbi 
 időben felvett értékei.
A 
  idő  annyival  korábbi,  mint  amennyi  szükséges  egy    sebességgel  terjedő  hatásnak  ahhoz,  hogy  a  töltéselemtől  az  x,  y,  z  koordinátájú
pontig eljusson, vagyis befussa az r rávolságot. A töltés- és árameloszlás mozgásállapotában bekövetkezett változás tehát nem azonnal érezhető
a  potenciálpontban,  hanem  véges  sebességgel  terjedő  hatás  közvetítésével  jut  el  oda.  Ezek  a  potenciálok  tehát  kifejezik  az  elektromágneses
kölcsönhatás véges sebességgel való terjedését. (46,7) szerint a terjedési sebesség 
, amely vákuumban (ε = μ = 1) a c fénysebességgel
egyezik meg. Később látni fogjuk, hogy   az elektromágneses hullámok terjedési sebessége. A (46,5), (46,6) elektromágneses potenciálokat retardált
potenciáloknak nevezzük.
Most megmutatjuk, hogy a retardált potenciálok kielégítik a (45,10), (45,11) d’Alembert-egyenleteket és a (45,9) Lorentz-feltételt. Foglalkozzunk előbb
a Φ skalárpotenciállal. Az x, y, z koordinátájú pontot vegyük körül egy végtelen kis r
0
 sugarú gömbfelülettel. A (46,6) integrációs tartományt ezáltal
két részre bontjuk: a V
1
 térfogatú gömbre és az azon kívül eső V térfogatú, ún. külső térrészre. A Φ ennek megfelelően két tag összege lesz:
,
ahol
 ((46,8). egyenlet),
 ((46,9). egyenlet).
Képezzük 
-t az x, y, z koordináták szerint. Φ
2
 kifejezése ezeket a koordinátákat csak r-ben tartalmazza. A differenciálást elvégezhetjük az
integráljelen belül, ha az integrandusz második deriváltja véges és folytonos az integrációs tartományban. Mivel r > r
0
, ez a feltétel itt teljesül, ezért

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
166
ahol ϱ" a 
 argumentum szerint vett második differenciálhányadost jelenti. Mivel az argumentumban a t független változó együtthatója 1, ezért az
argumentum szerint vett differenciálhányados megegyezik a t szerinti parciális differenciálhányadossal: 
, 
. Ezért – mivel r és t független
változók – 
 a következő alakba írható:
.
Tehát
 ((46,10). egyenlet).
Továbbá:
.
Az x, y, z koordinátájú P pont körüli r
0
 sugarú gömböt, tehát a V
1
 tartományt húzzuk össze a P pontra. Mivel 
 véges, az integrál zérushoz tart.
Ugyanis az integrál határértékét az 
 viselkedése szabja meg. Ennek határértéke pedig zérus:

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
167
.
Ennélfogva a (45,11) egyenlet bal oldala a következő:
 ((46,11). egyenlet).
 kiszámításánál nem járhatunk el úgy, mint 
-nél tettük, mivel most az integrációs tartomány az r = 0 pontot is tartalmazza, és ezért az
integrandusz második deriváltja r = 0-nál végtelenné válna. 
 kiszámítását ezért a vektoranalízisből ismert
 ((46,12). egyenlet)
képlet alapján végezzük el. Itt F annak a V térfogatnak a zárt felülete, amely belsejében tartalmazza a P(x, y, z) pontot, amelyben a div grad Φ értékét
meghatározzuk. Képezzük előbb grad Φ
1
-et a (46,8) egyenletből:
ahol 
r az 
 ponttól a dF felületelemig húzott vektor. Mivel ϱ' véges, az 
 határátmenetnél a jobb oldali első integrál zérushoz tart. Tehát:
.
Annál a határátmenetnél, amikor mind a V
1
 térfogat, mind az F felület végtelen kicsivé válik, a 
 függvény r-től való függése elhagyható.
Ekkor viszont 
 kiemelhető a felületi integrálból:
.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
168
Az   vektor normális komponensének zárt felületre vett integrálja 4π vagy zérus aszerint, hogy az 
 pont az F felülettel körülfogott V térfogat
belsejében van, vagy azon kívül. A mi esetünkben V
1
 a V belsejében van, ezért a felületi integrál 4π-vel egyenlő. Tehát:
 ((46,13). egyenlet).
Ebből az egyenletből (46,11) és (46,12) alapján adódik:
 ((46,14). egyenlet),
ahol ϱ
p
 a ϱ(x, y, z, t) függvény értéke a P(x, y, z) pontban. (46,14) megegyezik a (45,11) egyenlettel. A (46,6) integrálkifejezés tehát kielégíti a Φ
skalárpotenciál (45,11) differenciálegyenletét.
Hasonlóképpen bizonyítható, hogy (46,5) megoldása a vektorpotenciálra vonatkozó (45,10) egyenletnek.
Most megmutatjuk, hogy a (46,5), (46,6) retardált potenciálok kielégítik a Lorentz-feltételt is.
Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be a 
 jelölést. Képezzük a vektorpotenciál divergenciáját a (46,5) integrálkifejezés alapján. A
differenciálás az integráljel alatt elvégezhető:
 ((46,15). egyenlet).
Foglalkozzunk külön az integrandusszal.
.
Mivel 
i csak az r-en keresztül függ x, y, z-től,
.
Tehát

---