Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika
Yüklə 25,38 Kb. Pdf görüntüsü
|
KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK 154 ((44,17). egyenlet). Ez az egyenlet az ún. RLC kör alapegyenlete, amelyből meghatározhatjuk az áramerősséget mint az idő függvényét, adott R, L, C és adott elektromotoros erő esetén. Példaként foglalkozzunk azzal az esettel, amikor az áramforrás elektromotoros ereje időben periodikusan változik: ((44,18). egyenlet). Az áramerősséget meghatározó (44,17) diíferenciálegyenlet ekkor a következő alakot veszi fel: ((44,19). egyenlet). A 42. pontban követett eljáráshoz hasonlóan, a (44,19) egyenlet helyett az ((44,20). egyenlet) komplex egyenletet oldjuk meg. Könnyen belátható itt is, hogy a (44,20) egyenlet megoldásának valós része megoldása a (44,19) egyenletnek. Tehát: ((44,21). egyenlet). A megoldandó (44,20) egyenlet a mechanikában megismert kényszerrezgések differenciálegyenletéhez teljesen hasonló szerkezetű. 1 Általános megoldását a (44,20) inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának és a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának összegeként kapjuk. Foglalkozzunk előbb a partikuláris megoldással. A kényszerrezgések analógiája alapján keressük a megoldást az ((44,22). egyenlet) alakban, y p -t (44,20)-ba helyettesítve, A-ra a következő egyenletet kapjuk: . 1 Budó Ágoston: Mechanika, 88. oldal. Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK 155 Ebből adódik: ((44,23). egyenlet) ahol , vagyis ((44,24). egyenlet). A (44,20) differenciálegyenlet partikuláris megoldása tehát: ((44,25). egyenlet). A megfelelő homogén differenciálegyenlet: ((44,26). egyenlet). Ez állandó együtthatós, homogén másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet. Általános megoldása: ((44,27). egyenlet), KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK 156 ahol ((44,28). egyenlet), c l és c 2 integrációs állandók. A (44,26) differenciálegyenlet a mechanikában tárgyalt csillapított rezgőmozgás differenciálegyenletéhez teljesen hasonló szerkezetű. A megoldás időbeli viselkedését a (44,28)-ban szereplő négyzetgyökös kifejezés szabja meg. Aszerint, hogy , háromféle megoldás létezik. Ezeket itt nem részletezzük, hanem a megfelelő mechanikai tanulmányokra hivatkozunk. 2 Ezekből ismeretes, hogy két esetben időben exponenciálisan lecsengő aperiodikus megoldást, egyik esetben pedig exponenciálisan csökkenő amplitúdójú, ún. csillapított rezgést kapunk. A homogén egyenlet általános megoldása tehát hosszabb idő elteltével eltűnik. Ezért a problémák stacionárius megoldását a (44,25) partikuláris megoldás valós része adja: ((44,29). egyenlet). A periodikusan változó elektromotoros erő hatására az RLC körben is időben periodikus áramerősség keletkezik. Az áramerősség I 0 amplitúdója: ((44,30). egyenlet), frekvenciája megegyezik az elektromotoros erő frekvenciájával. Ha a δ fáziskülönbség > 0, vagyis , akkor az áramerősség fázisa késik, ha δ < 0, vagyis , akkor siet az elektromotoros erőhöz képest. RL kör esetén az áramerősség határozottan késik -hez képest. Olyan vezetőkörben, ahol L = 0, ott δ < 0, és ezért az áramerősség megelőzi az elektromotoros erőt. Az RLC körben az áramerősség és elektromotoros 2 Budó Ágoston: Mechanika, 84. oldal. Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK 157 erő fázisa közötti különbség az önindukció okozta késésből és a kapacitástól származó sietésből tevődik össze. Ennek mértékét – mint láttuk – az ωL és viszonya szabja meg. Az esetben δ = 0, tehát nincs fáziskülönbség és között. Ekkor a impedancia az R ohmikus ellenállással egyezik meg, és az áramerősség I 0 amplitúdója az maximális értéket veszi fel. Ez az eset akkor következik be, ha az áramforrás elektromotoros erejének a frekvenciája megegyezik az áramkör ún. sajátfrekvenciájával: ((44,31). egyenlet). Az elektrotechnikában RLC körök esetén is használjuk a komplex írásmódot. Az R ohmikus ellenállás valós, az ωL induktív ellenállás helyett az iωL, a kapacitív ellenállás helyett pedig a mennyiséget használjuk. Az impedanciát most az komplex szám abszolút értéke adja, argumentuma pedig a δ fáziskülönbség: ((44,32). egyenlet). A jelöléssel (55. ábra) az komplex elektromotoros erő és komplex áramerősség (y) között az ((44,33). egyenlet) összefüggés áll fenn. A (44,33) egyenletet a komplex mennyiségekre felírt Ohm-törvénynek nevezhetjük. A komplex elektromotoros erő, áramerősség és ellenállás bevezetése formálisan megkönnyíti az időben periodikusan változó áramú körök tárgyalását. Az elektrotechnikában ezért terjedt el ez az írásmód. Alkalmazásakor azonban nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy fizikai jelentése a megfelelő valós részeknek, illetve a komplex ellenállás abszolút értékének és argumentumának van. KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK 158 55. ábra - Vizsgáljuk meg most röviden a körbe betáplált teljesítményt. E célból szorozzuk meg a (44,16) egyenlet mindkét oldalát az I áramerősséggel: ((44,34). egyenlet). A jobb oldalon álló tag az áram mágneses és a kondenzátor elektromos térenergiájának időegységre eső növekedését jelenti. Az teljesítmény tehát a térenergia növekedését és az ellenállásban időegység alatt keletkezett Joule-hőt fedezi. Ha az elektromotoros erőt egy t pillanatban kikapcsoljuk, akkor az I áramerősség idővel exponenciálisan esik le zérusra. Ekkor (44,24)-ből adódik ((44,35). egyenlet). Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy az áramforrás kikapcsolása után a Joule-hő a térenergiát fogyasztja el. Periodikus elektromotoros erő esetén a teljesítmény középértéke: ((44,36). egyenlet). A vezetőkörbe betáplált közepes teljesítmény az ellenállásban keletkezett hőt fedezi. Az önindukció és kapacitás középértékben nem fogyaszt energiát. Velük a feszültséget teljesítménymentesen lehet szabályozni. A teljesítmény középértéke (42,25)-höz hasonlóan: Yüklə 25,38 Kb. Dostları ilə paylaş:
|