Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
169
 ((46,16). egyenlet).
Az 
 összefüggés alapján belátható, hogy
grad r = –grad' r,
ahol grad' az x', y', z' koordináták szerint képzett gradienst jelenti. Ennek alapján (46,16) a következő alakba írható:
 ((46,17). egyenlet).
A vesszős koordináták szerinti divergenciára érvényes a következő képlet:
 ((46,18). egyenlet)
A (46,17) és a (46,18) egyenlet egybevetéséből adódik:
 ((46,19). egyenlet).
Ezt a kifejezést (46,15)-be beírva, kapjuk:
.
Az első integrál Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható:
.
Ha az integrációs tartománynak az egész végtelen teret tekintjük, akkor a felületi integrál zérussá válik, mert a végtelenben az áram zérus.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
170
Tehát:
 ((46,20). egyenlet).
A (7,2) kontinuitási egyenlet szerint:
.
Ennek alapján (46,20) a következőképpen írható;
 ((46,21). egyenlet).
Mivel 
, ezért 
. Ennélfogva (46,6) figyelembevételével írható:
 ((46,22). egyenlet)
Ez az egyenlet pedig éppen a (45,9) Lorentz-feltétel. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a (46,5), (46,6) retardált potenciálok kielégítik a Lorentz-feltételt is.
Az előzőekben követett gondolatmenettel belátható, hogy az elektromágneses potenciálok differenciálegyenleteit az
 ((46,23). egyenlet),
 ((46,24). egyenlet)

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
171
integrálkifejezések is kielégítik. Ezek olyan megoldásokat jelentenek, amelyek szerint a potenciálok értékét az x, y, z pontban, t időpillanatban nem a t-
hez, hanem egy későbbi, a 
 időponthoz tartozó áram- és töltéseloszlás határozza meg. A (46,23), (46,24) megoldásokat avanzsált potenciáloknak
nevezzük. Ezeknek nincs olyan világos fizikai értelmezésük, mint a retardált potenciáloknak, ezért alkalmazásuk is sokkal ritkább.
Mivel  az  elektromágneses  potenciálok  differenciálegyenletei  inhomogén  lineáris  egyenletek,  azok  általános  megoldását  a  homogén  egyenletek
általános megoldásának és az inhomogén egyenlet tetszőleges partikuláris megoldásának összege adja. Egyértelmű megoldást akkor kapunk, ha
megadjuk a konkrét probléma kezdő- és határfeltételeit is. Mind az elméleti, mind az alkalmazásoknál előforduló problémák legtöbbjénél általában
a retardált megoldások játszanak szerepet.
Pontszerű elektromos dipólus elektromágneses tere
Gondoljunk  el 
p  momentumú  elektromos  dipólust  az  r  =  r
0
  pontban.  Tételezzük  fel,  hogy  a 
p  dipolmomentum  az  időnek  folytonos  függvénye.
Feladatul tűzzük ki a dipólus általános elektromágneses terének a meghatározását. Tegyük fel, hogy 
. A teret leíró Maxwell-egyenletekben
adott mennyiségnek tekintjük a
 ((47,1). egyenlet)
egyenlettel definiált 
P(r, t) dipolmomentum-sűrűséget. A Maxwell-egyenletek ebben az esetben a következőképpen írhatók:
Ezek az egyenletek az 
 polarizációs áramsűrűség és a ϱ
p
 = – div 
P töltéssűrűség időben változó elektromágneses terét határozzák meg.
A (45,l)-hez és (45,3)-hoz hasonlóan itt is bevezetjük az elektromágneses potenciálokat:
 ((47,2). egyenlet)
Ezek  a  kifejezések  a  harmadik  és  negyedik  Maxwell-egyenletet  kielégítik.  Az  elsőbe  és  másodikba  beírva,  az  elektromágneses  potenciálok
inhomogén differenciálegyenleteit kapjuk:

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
172
 ((47,3). egyenlet),
 ((47,4). egyenlet),
és a Lorentz-feltétel:
 ((47,5). egyenlet).
A (47,3)–(47,5) egyenletek retardált megoldásai (46,5) és (46,6) alapján:
 ((47,6). egyenlet),
 ((47,7). egyenlet).
(47,7) integranduszában a divergenciát az x', y', z' koordináták szerint képezzük állandó retardált idő mellett. A (46,19)-hez hasonló
összefüggés felhasználásával írható:
 ((47,8). egyenlet).
A jobb oldali első integrál a Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható, és a végtelen felületre kiterjesztve eltűnik, mert ott 
. A második integrálban
a divergenciát az x, y, z koordináták szerint kell képezni. Ez a divergenciaképzés az integrálással felcserélhető; tehát:

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
173
 ((47,9). egyenlet).
A (47,6) integrálból hasonlóképpen kiemelhető az idő szerinti parciális differenciálás jele:
 ((47,10). egyenlet).
E két kifejezésből látható, hogy az elektromágneses potenciálokat a
 ((47,11). egyenlet)
integrál, az ún. Hertz-vektor meghatározza az
 ((47,12). egyenlet)
képletek alapján. A Hertz-vektort kell tehát kiszámítanunk az adott 
P(r, t) dipolmomentum-eloszlásból, és ezután az elektromágneses potenciálok,
majd a térerősségek a (47,12), illetve a (47,2) szerint egyszerű differenciálással adódnak.
A  továbbiakban  a  pontszerű  dipólus  terével  foglalkozunk.  Ebben  az  esetben  a  tér  teljes  pontossággal  meghatározható.  A  pontszerű  dipólus
momentumsűrűségét a Dirac-féle δ-függvénnyel fejezhetjük ki:
 ((47,13). egyenlet).
Ezt a kifejezést (47,13)-ba beírva és az integrálást elvégezve, adódik:
 ((47,14). egyenlet),
ahol 
. Az elektromos és mágneses tér erősségét (47,2) és (47,12) alapján kapjuk:

---