Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
183
 ((48,19). egyenlet).
Tehát ebből:
 ((48,20). egyenlet).
Ennélfogva:
 ((48,21). egyenlet).
Az áramkör sugárzási ellenállása:
 ((48,22). egyenlet).
A (48,21)-et (47,30)-cal összevetve látható, hogy az
hosszúságú botantenna ugyanannyi energiát sugároz ki az időegység alatt átlagosan, mint az F felületű köráram, ha az áramerősségek effektív
értéke a két esetben megegyezik.
Elektromágneses síkhullámok homogén izotrop szigetelőben
Az  előző  két  pontban  láttuk,  hogy  ha  az  elektromos  dipolmomentum  vagy  mágneses  momentum  idő  szerinti  második  differenciálhányadosa
nem  zérus,  akkor  elektromágneses  gömbhullám  keletkezik,  amely  leszakad  a  hullámforrásról  (dipólusról  vagy  mágneses  momentumról),  és
elektromágneses energiát szállít a térben. (Általánosan megmutatható, hogy az elektromágneses dipolsugárzás akkor lép fel, ha a töltésrendszer
gyorsulással mozog. Ugyanis a dipolmomentum idő szerinti második differenciálhányadosa arányos a mozgó töltés gyorsulásával.)
A következőkben az elektromágneses tér terjedésének problémáját tanulmányozzuk végtelen kiterjedésű homogén izotrop szigetelőben. Tehát ε =
áll., μ = áll. és σ = 0. Feltételezzük továbbá, hogy a térben töltések nincsenek jelen. Az elektromágneses teret a Maxwell-egyenletek írják le, amelyek
töltések és áramok nélküli esetben a következő alakot veszik fel:

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
184
 ((49,1). egyenlet)
(Itt felhasználtuk a 
D = εE, B = μH anyagi egyenleteket, és figyelembe vettük, hogy ε, μ állandók.)
Képezzük az első egyenlet rotációját:
 ((49,2). egyenlet).
A 
 vektoranalitikai összefüggés alapján ez az egyenlet a következőképpen írható:
 ((49,3). egyenlet).
rot 
E kifejezését a harmadik Maxwell-egyenletből behelyettesítve, majd a div H = 0 egyenletet figyelembe véve, adódik:
 ((49,4). egyenlet).
Hasonló eljárással kapjuk az elektromos térerősségre:
 ((49,5). egyenlet).
Az  elektromos  és  a  mágneses  térerősségvektor  tehát  kielégíti  a  hullámegyenletet.  A  (49,4),  (49,5)  hullámegyenletek  azonban  csak  részleges
következményei a (49,1) alapegyenleteknek, és nem egyenértékűek azokkal. Ezért a hullámegyenletek megoldásaitól külön meg kell követelnünk a
(49,1) Maxwell-egyenletek kielégítését. Ez – mint látni fogjuk – a hullámegyenletek megoldásaira külön megszorítást jelent.
Keressük  először  (49,4)  és  (49,5)  síkhullám-megoldását.  Elektromágneses  síkhullámon  olyan  megoldást  értünk,  amelynél  az  elektromos  és  a
mágneses térerősségvektor adott időpillanatban ugyanazt az értéket veszi fel egy sík minden pontjában, és a térnek ez az állapota a sík normálisa
irányában állandó sebességgel terjed tova. Ha a sík normális irányú egységvektorát 
n-nel jelöljük, akkor a sík egyenletét
nr = áll.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
185
alakban írhatjuk. Ezért az elektromágneses síkhullám térerősségvektorai a t időt és az 
r helyvektort a 
 alakban tartalmazzák:
 ((49,6). egyenlet).
 egy állandó mennyiség, amelyről kiderül, hogy a hullám terjedési sebességét jelenti. (49,6)-ról valóban szembeszökően látszik, hogy rögzített t
esetén 
E és H az nr = áll. síkban ugyanazt az értéket veszi fel.
Jelöljük a sík egyenletében szereplő állandót d-vel, vagyis: 
nr = d. Az analitikus geometriából ismeretes, hogy d a síknak az origótól mért merőleges
távolságát jelenti. Azt a körülményt, hogy az elektromágneses térnek egy adott állapota a sík normálisa irányában állandó sebességgel terjed, a
következőképpen fejezhetjük ki. Legyen egy kiszemelt állapot t
1
 időpontban a d
1
 állandójú sík mentén. A későbbi t
2
 időpontban ugyanez az állapot
az előbbivel párhuzamos, d
2
 távolságú sík mentén lesz. A térerősségek a t
2
 időpontban d
2
 távolságú sík mentén akkor veszik fel a t
1
 időpillanathoz
és d
1
-hez tartozó értéküket, ha a két argumentum megegyezik egymással :
 ((49,7). egyenlet).
Ebből átrendezéssel adódik:
 ((49,8). egyenlet).
 a két sík közötti távolságot jelenti. Ezt a szakaszt az elektromágneses tér kiszemelt állapota 
 idő alatt futotta be. Ennélfogva (49,8) alapján
 az elektromágneses síkhullám terjedési sebességét jelenti. A (49,8) jobb oldalán a + jel akkor érvényes, ha az argumentumban a – jel szerepel és
megfordítva. Az előbbi esetben a hullám a sík pozitív normálisának irányában, az utóbbiban azzal ellentétes irányban halad.
Most meg kell arról győződnünk, hogy (49,6) kielégíti a (49,4), (49,5) hullámegyenleteket. Nézzük pl. az elektromos térerősségre:
;
,
ahol vesszővel az egész argumentum szerinti differenciálhányadost jelöltük. Ezeket (49,5)-be behelyettesítve, látjuk, hogy (49,6) akkor elégíti ki a
(49,5) hullámegyenletet, ha

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
186
 ((49,9). egyenlet).
Hasonlóképpen adódik 
H-ra is. Az elektromágneses síkhullám terjedési sebességét a közeg (49,9) szerint befolyásolja. Vákuumban 
.
A (49,6) síkhullámok a (49,9) terjedési sebességgel tehát megoldásai a hullámegyenleteknek. Mivel alapegyenleteink a Maxwell-egyenletek, most
meg kell vizsgálnunk, hogy a síkhullámok milyen feltételek mellett elégítik ki a Maxwell-egyenleteket is. Nézzük először a div 
E = 0 egyenletet.
Képezzük a (49,6) alakban felírt elektromos térerősség divergenciáját:
 ((49,10). egyenlet).
A jobb oldal akkor tűnik el, ha
 ((49,11). egyenlet).
Ebből a teljes argumentum szerinti integrálással adódik:
 ((49,12). egyenlet).
A jobb oldalon levő C integrációs állandó írható a következőképpen:
C = (
E
0
, 
n),
ahol 
E
0
 egy sztatikus, homogén elektromos tér erősségét jelenti. Mivel bennünket most a hullámmegoldás érdekel, ettől a homogén, sztatikus tértől
eltekintünk: 
E
0
 = 0, és így C = 0. A (49,6) síkhullám tehát akkor elégíti ki a div 
E = 0 Maxwell- egyenletet, ha
 ((49,13). egyenlet).
Hasonlóképpen adódik a mágneses térerősségre is:
 ((49,14). egyenlet).
A (49,13) és (49,14) egyenletek azt fejezik ki, hogy az elektromágneses síkhullám esetén az elektromos és a mágneses térerősségvektor a terjedési
irányra merőleges síkban fekszik. Az ilyen hullámokat nevezzük transzverzális hullámoknak. Az elektromágneses síkhullámok tehát transzverzálisak.
Hátra van még az első és a harmadik Maxwell-egyenlet kielégítése. Nézzük pl. az elsőt. Képezzük a (49,6) mágneses térerősség rotációját, majd
az elektromos térerősség idő szerinti differenciálhányadosát.

---