Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
187
,
.
Ezeket az első Maxwell-egyenletbe helyettesítve, kapjuk:
.
Ebből az argumentum szerint integrálva és a homogén, sztatikus tértől eltekintve, adódik:
 ((49,15). egyenlet).
Hasonló eljárással kapjuk a harmadik Maxwell-egyenletből:
 ((49,16). egyenlet).
A (49,15) és (49,16) összefüggésekből látszik, hogy az elektromos és a mágneses térerősség nemcsak az 
n-re, hanem egymásra is merőleges. Az
n egységvektor irányában haladó síkhullámoknál az n, E, H vektorok úgy helyezkednek el, mint a jobbsodrású koordináta-rendszer x, y, z tengelyei.
A terjedési sebesség (49,9) értékét beírva, (49,15), illetve (49,16) a következőképpen írható;
 ((49,15'). egyenlet),
 ((49,16'). egyenlet).
A (49,15'), illetve (49,16') egyenletek mindkét oldalának abszolút értékét képezve, adódik:
 ((49,17). egyenlet).
Ebből az összefüggésből következik, hogy vákuumban (ε = μ = 1) haladó elektromágneses síkhullámban az elektromos és a mágneses térerősség
abszolút értéke megegyezik egymással.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
188
Az elektromágneses síkhullám térenergia-sűrűsége:
.
A (49,17) összefüggés alapján látszik, hogy az elektromos és a mágneses energiasűrűség megegyezik egymással, ezért a síkhullám energiasűrűsége
az elektromos energiasűrűség kétszeresével egyenlő:
 ((49,18). egyenlet).
Az  elektromágneses  síkhullám  energiát  szállít  magával  a  térben.  Az  energiaáramlást  az  energia-áramsűrűség,  az  ún.  Poynting-vektor  jellemzi.
Számítsuk ki a Poynting-vektort.
 ((49,19). egyenlet)
A (49,9) és a (49,18) összefüggés alapján ez a következőképpen írható:
 ((49,19'). egyenlet).
A 
 jelöléssel:
 ((49,19"). egyenlet).
(49,19")-ből következik, hogy homogén izotrop szigetelőben a síkhullám fázissebessége
2
 egyúttal az energia terjedési sebessége is. Az energia-
áramsűrűségre ugyanolyan összefüggést kaptunk, mint a kontinuumok mechanikájában az áramló anyag áramsűrűségére. Nevezetesen: energia-
áramsűrűség = energiasűrűség szorozva az energia terjedési sebességével.
Térjünk vissza a (49,6) síkhullám-megoldásokhoz. Mint fentebb láttuk, az 
 az 
n normális irányába, az 
 pedig a vele ellentétes irányba
haladó síkhullámot ír le. Az alapegyenletek általános megoldása két ilyen partikuláris megoldás összege:
2
 Fázissebességen a hullám fázisának terjedési sebességét értjük. A (49,18) egyenlettel értelmezett sebesség tulajdonképpen a fázissebesség. Az egyszerűbb szóhasználat miatt gyakran egyszerűen
a  hullám  terjedési  sebességének  nevezzük.  Megjegyezzük,  hogy  abban  az  esetben,  amikor  a  fázissebesség  függ  a  hullámhossztól,  tehát  diszperzió  lép  fel,  az  energiasebesség  különbözik  a
fázissebességtől.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
189
 ((49,20). egyenlet)
A  síkhullámoknál  a  térerősségek  tehát  a 
  alakban  tartalmazzák  az  időt  és  a  helykoordinátákat.  A  függvény  konkrét  alakja  a  hullámforrás
mozgásállapotától függ. A gyakorlatban előforduló legfontosabb esetekben a hullámforrás időben periodikus mozgást végez. Ennek megfelelően
a térerősségek is periodikus függvényei az időnek. Legegyszerűbb a monokromatikus síkhullám. Ekkor a térerősségek egyszerűen cosinus- vagy
sinusfüggvénnyel írhatók le:
 ((49,21a). egyenlet).
 ((49,21b). egyenlet).
A továbbiakban foglalkozzunk az 
n egységvektor irányába haladó monokromatikus síkhullámmal, tehát
 ((49,22). egyenlet)
Az 
E
0
, 
H
0
 amplitúdóvektorok függetlenek az időtől és a helytől.
A  monokromatikus  síkhullámoknál  beszélünk  rezgésidőről  és  hullámhosszról.  Ezeket  a  következőképpen  értelmezzük.  Rezgésidőn  egy  rezgés
T  időtartamát  értjük.  Ezalatt  a  hullám 
  fázisa  egy  rögzített  helyen  2π-vel  változik  meg: 
.  A  T  rezgésidő  egyszerű
kapcsolatban van az ω körfrekvenciával, illetve a ν frekvenciával 
.
.
Ebből következik, hogy

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
190
,
vagyis
 ((49,23). egyenlet).
A frekvencia vagy rezgésszám tehát az időegységre eső rezgések számát jelenti. Hullámhosszon azt a λ hosszúságot értjük, amely mentén rögzített
idő alatt a φ fázis 2π-vel változik meg. Nevezetesen:
.
Ebből következik:
 ((49,24). egyenlet),
amely (49,23) felhasználásával így is írható:
 ((49,25). egyenlet).
A hullámhossz bevezetésével a φ fázist (49,24) alapján a következő szokásos alakba írjuk:
.
A
 ((49,26). egyenlet)
vektort hullámszámvektornak nevezzük. Ennek 
 abszolút értéke megadja a hosszegységre eső hullámok számának 2π-szeresét. A fázis ezek
után a következő alakot veszi fel:
 ((49,27). egyenlet).

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
191
A monokromatikus elektromágneses síkhullám térerősségeit (49,27) felhasználásával a szokásos
 ((49,28). egyenlet)
alakba írhatjuk.
A valóságban általában nem tiszta monokromatikus hullámok fordulnak elő. A hullámforrásból véges hosszúságú hullámvonulatok emittálódnak.
Azonban az ilyen ún. hullámcsomagok is mindig felbonthatók különböző frekvenciájú monokromatikus hullámok szuperpozíciójára Fourier-sor vagy
Fourier-integrál alakjában. A monokromatikus hullámoknak a fizikában azért van igen fontos szerepük, mert végső soron az összetettebb gyakorlati
problémákban is ilyenek szuperpozíciójával van dolgunk.
A (49,1) Maxwell-egyenleteknek speciális megoldásai a síkhullámok. Ezek mellett fontos szerepe van az ún. gömbhullám-megoldásnak is. Ilyenekkel
találkoztunk az előző két pontban is. A gömbhullám hullámfelületei a hullámforrást koncentrikusan körülvevő gömbfelületek; az elektromágneses
tér  állapota  valamely  rögzített  időpillanatban  egy  gömbfelület  mentén  ugyanaz,  és  ez  az  állapot  a  sugár  irányában  terjed  véges  sebességgel
tova.  A  részletesebb  vizsgálat  nélkül  itt  csupán  felírjuk  az  elektromágneses  gömbhullám  elektromos  és  mágneses  térerősségének  kifejezését
monokromatikus hullám esetére:
 ((49,29). egyenlet)
ahol 
. A hullám amplitúdója a távolsággal fordított arányban csökken.
A cosinus- vagy sinusfüggvény szerint változó periodikus elektromágneses hullámokra gyakori a komplex írásmód. A (49,28) síkhullámok így írhatók:
 ((49,30). egyenlet)
Fizikai jelentése természetesen ezek valós részének van, mert a térerősségek valósak.
Az elektromágneses hullámok polarizációja
Tekintsünk homogén izotrop szigetelőben haladó elektromágnesess síkhullámot, amelynek térerősségeit a (49,30) komplex függvényekkel írjuk le.
Mivel az 
E és a H egyforma alakú, foglalkozzunk az elektromos térerősséggel. Ebben az írásmódban általában az E
0
 amplitúdó is komplex:

---