Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
178
.
A (47,22) és (47,23) képletekből következik, hogy 
S sugárirányú, tehát
 ((47,26). egyenlet).
Mivel
,
 ((47,27). egyenlet).
E kifejezésből látszik, hogy
,
a  sugárzás  kibocsátása  tehát  nem  izotrop,  hanem  függ  a    szögtől.  A  dipolmomentum  irányában  nincs  sugárzás,  az  egyenlítő  síkjában  pedig
maximális.
A dipólustól r távolságban a sugárra merőlegesen elhelyezett 1 cm
2
 felületen az időegység alatt átlagosan áthaladó energia:
.
Az integrál könnyen kiszámítható, értéke: T/2. Ezért:
.
A dipólus által az időegység alatt átlagosan kisugárzott energiát ebből az r sugarú gömbfelületre történő integrálással kapjuk:

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
179
 ((47,28). egyenlet)
Az  elektromos  dipólus  sugárzására  kapott  (47,28)  képlet  alkalmazható  l  hosszúságú  botantenna  sugárzásának  kiszámítására.  Az  antennát
dipólusnak tekintve 
, ahol e
0
 az időben periodikusan változó elektromos töltés amplitúdója: 
. Az antennára azonban nem a p
0
momentum, hanem a benne folyó áram erősségének effektív értéke a jellemző. Ezért p
0
-t ezzel fejezzük ki. Az áram erőssége:
,
ahol 
. Ennélfogva
 ((47,29). egyenlet).
(47,29)-et (47,28)-ba behelyettesítve, megkapjuk az l hosszúságú botantenna által az időegység alatt átlagosan kisugárzott energiát:
 ((47,30). egyenlet).
Ez a kifejezés a Joule-törvényhez hasonló
 ((47,31). egyenlet)
alakra hozható. R
s
 annak az ohmikus ellenállásnak az értékével egyezne meg, amely időegység alatt U
1s
-mal egyenlő energiaveszteséget hozna
létre Joule-hő révén. Az így értelmezett
 ((47,32). egyenlet)
mennyiséget nevezzük sugárzási ellenállásnak. A valóságban Joule-hő is keletkezik az antennában, ezért az elektromos rezgést keltő generátor
átlagos teljesítménye az időegység alatt átlagosan keletkezett Joule-hő és a kisugárzott energia összegével egyenlő:
 ((47,33). egyenlet),

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
180
ahol R az antenna ohmikus ellenállása.
A mágneses momentum elektromágneses tere és sugárzása
Tekintsünk 
m(t) momentumú mágnest, amelyben az elemi mágneses momentumok eloszlását az
 ((48,1). egyenlet)
képletben szereplő 
M(r, t) sűrűségfüggvény írja le. Feltételezzük, hogy a mágnesen kívül 
. Az 
M(r, t) mágneses momentumeloszlás által
keltett elektromágneses teret a Maxwell-egyenletek határozzák meg:
Feladatul tűzzük ki az elektromos és a mágneses térerősség meghatározását. Itt is az elektromágneses potenciálok segítségével oldjuk meg a
problémát. A div 
E = 0 egyenletet kielégíthetjük az
 ((48,2). egyenlet)
kifejezéssel. (48,2)-t az első Maxwell-egyenletbe beírva, kapjuk:
.
Ebből adódik:
 ((48,3). egyenlet).
A  (48,2)  és  (48,3)  képletekkel  bevezetett 
A,  Φ  elektromágneses  potenciálok  differenciálegyenleteit  a  harmadik  és  negyedik  Maxwell-egyenlet
szolgáltatja. Ha a
 ((48,4). egyenlet)

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
181
Lorentz-feltételt kikötjük, akkor 
A-ra és Φ-re a következő egyenleteket kapjuk:
 ((48,5). egyenlet),
 ((48,6). egyenlet).
Az  elektromágneses  potenciálok  (48,4)–(48,6)  egyenletei  alakilag  teljesen  megegyeznek  az  elektromos  dipólusnál  bevezetett  potenciálok
differenciálegyenleteivel. A különbség mindössze annyi, hogy 
P helyett M szerepel az egyenletekben. Ez a felismerés megkönnyíti a probléma
megoldását;  ugyanis  a  mágneses  momentumeloszlás  terét  az  elektromos  dipóluseloszlás  teréből  egyszerű  helyettesítéssel  megkaphatjuk.  A
mondottak alapján, valamint a (48,2), (48,3) és a (47,2) összefüggések egybevetéséből következik:
 ((48,7). egyenlet),
 ((48,8). egyenlet),
ahol 
, illetve 
 az elektromos dipólus mágneses, illetve elektromos térerősségének kifejezését jelenti azzal a változtatással, hogy
benne 
P helyére M írandó.
Mivel itt is a hullámzóna érdekel bennünket elsősorban, ezért csak a hullámzónában érvényes térerősségeket írjuk fel részletesen. Az origóban levő
pontszerű mágneses momentum esetén:
 ((48,9). egyenlet),
 ((48,10). egyenlet),
 ((48,11). egyenlet).
Foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a mágneses momentum időben periodikusan változik:
 ((48,12). egyenlet),
és tételezzük fel, hogy a mágneses momentum z tengely irányú: 
m
0
(0, 0, m
0
);

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
182
 ((48,13). egyenlet)
 ((48,14). egyenlet)
A (48,13) és (48,14) kifejezések fizikai jelentéssel bíró valós részeire áttérve:
 ((48,15). egyenlet),
 ((48,16). egyenlet).
A mágneses momentum elektromágneses tere is gömbhullám a hullámzónában, de a térerősségek iránya más, mint az elektromos dipólusnál. Az
elektromos térerősség az 
r helyvektorral megadott Q ponton átmenő szélességi kör érintője a csökkenő φ irányában, a mágneses térerősség pedig
a Q ponton átmenő délkör délre mutató érintője. Mivel a térerősségek nagysága 
-val arányos, a z tengely irányában mind az 
E, mind a H eltűnik,
és az egyenlítő síkjában 
 veszik fel a maximális értéküket.
Az  egységnyi  felületen  az  időegység  alatt  kisugárzott  elektromágneses  energiát  a  Poynting-vektor  adja  meg,  amely  a 
  helyettesítéstől
eltekintve, ugyanaz, mint az elektromos dipólusnál:
 ((48,17). egyenlet).
A mágneses momentum által az időegység alatt átlagosan kisugárzott energiát (47,28)-hoz hasonlóan az
 ((48,18). egyenlet)
képlet adja meg.
Ez a képlet alkalmazható az időben periodikus áram által átjárt köráram (tekercs) sugárzásának kiszámítására. Mivel 
,

---