Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
149
.
Ebben a határesetben a két áram tehát ellentétes irányú.
A szoros csatolás esete valósul meg a transzformátornál. Itt a két tekercs közös lamellált vasgyűrűn helyezkedik el, és így az összes indukciófluxus
mindkét tekercsen áthalad. Legyen az első (ún. primer) tekercs menetszáma n
1
, a másodiké (az ún. szekunder tekercsé) n
2
. A közös vasmag
keresztmetszetén áthaladó indukcióvonalak számát jelöljük  -fel. Az első tekercsen áthaladó indukcióvonalak száma 
, a másodikon áthaladó
pedig 
. Tehát:
 ((43,13). egyenlet).
Mivel a két körben folyó áram erőssége között 
 fáziskülönbség van, kiszemelhetjük azt a pillanatot, amikor 
, 
. Ekkor a (41,11) egyenlet
szerint fennállnak a következő egyenletek:
 ((43,14). egyenlet).
A (43,13) és (43,14) egyenletek egybevetéséből kapjuk:
 ((43,15). egyenlet).
Most szemeljük ki azt az időpillanatot, amikor 
, 
. Ekkor (41,11) szerint:
 ((43,16). egyenlet).
A (43,13) és (43,16) egyenletekből adódik:
 ((43,17). egyenlet).
A (43,15) és a (43,17) egyenlet egybevetéséből, illetve összeszorzásából kapjuk:
 ((43,18). egyenlet).

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
150
A transzformátor primer körét a kis hőveszteség miatt általában úgy méretezik, hogy az ellenállás elhanyagolhatóan kicsi legyen. Számításunkban
tegyük fel, hogy R
1
 = 0. Ekkor (43,7) szerint:
.
A (43,18) és (43,15) összefüggések figyelembevételével ez a következő alakba írható:
 ((43,19). egyenlet).
A szekunder körben indukált áram erősségének amplitúdója:
 ((43,20). egyenlet),
a primer kör   elektromotoros erejéhez viszonyított δ
2
 fáziskésése pedig –π. A szekunder kör áramerőssége tehát ellentétes fázisú az elektromotoros
erőhöz képest.
A (43,20) egyenlet Ohm-törvénye szerint azt fejezi ki, hogy a szekunder körben olyan erősségű áram indukálódik, mintha abban 
 elektromotoros
erő  lenne.  A  transzformátor  a  primer  kör    elektromotoros  erejét 
-szeresére  transzformálja.  A  valóságban 
,  ezért  a  szekunder
körben  indukált  elektromotoros  erő  általában  sokszorosa  a  primer  körbe  kapcsolt  elektromotoros  erőnek.  A  transzformátorok  alkalmazása  az
elektrotechnikában igen elterjedt.
Nem szabad szem elől tévesztenünk, hogy az itteni tárgyalásban L
22
 a transzformátor szekunder tekercsének önindukciós együtthatóját jelentette.
Ezért eredményeink csak arra az esetre vonatkoznak, amikor a fogyasztókörbe csak ohmikus ellenállások vannak bekapcsolva.
Áramkör önindukcióval és kapacitással
Az áramkörök (41,13) alapegyenleteinek a levezetésénél nem vettük tekintetbe azokat a gyakorlatilag fontos eseteket, amikor az áramkörökben
kondenzátorok is vannak. Az áramkörökre vonatkozó fejtegetéseinket most kiegészítjük a kondenzátorok figyelembevételével.

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
151
Gondoljunk el olyan vezető kört, amelyben az R ohmikus ellenálláson és L önindukciós együtthatójú tekercsen kívül C kapacitású kondenzátor is
van. A körbe bekapcsolt áramforrás elektromotoros ereje legyen  . Az ilyen áramkörben egyenáram nem alakul ki, mert a kondenzátor azt nem
engedi át. Az időben változó elektromotoros erő azonban ilyen körben is létesít áramot.
54. ábra -
Először meghatározzuk a kondenzátort is tartalmazó áramkör alapegyenletét. E célból szorozzuk meg az Ohm-törvényt kifejező
egyenlet mindkét oldalát skalárisan a d
s vonalelemmel, és integráljunk a vezetőkör mentén a kondenzátor két fegyverzetét jelző (1) és (2) pontok
között:
 ((44,1). egyenlet).
Feltételezzük, hogy a vezető lineáris, ezért a (41,7) egyenlet utáni gondolatmenettel kapjuk, hogy
 ((44,2). egyenlet),
ahol R a vezető kör ohmikus ellenállása, I az áram erőssége,   pedig az áramforrás elektromotoros ereje, amelyet a (44,1) egyenlet jobb oldalán
álló utolsó integrállal definiáltunk. Az 
E elektromos térerősség a (III) Maxwell-egyenlet szerint kvázistacionárius áramoknál nem rotációmentes, ezért
nem származtatható skalárpotenciálból gradiensképzéssel, mint az egyenáramoknál.
A
div 
B = 0
Maxwell-egyenlet kielégíthető az 
A vektorpotenciái bevezetésével:

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
152
 ((44,3). egyenlet),
 ((44,4). egyenlet).
A (44,3) összefüggést a (III) Maxwell-egyenletbe beírva, kapjuk:
 ((44,5). egyenlet).
Ebből az egyenletből látszik, hogy most az 
 vektor rotációmentes, ezért ez fejezhető ki egy Φ skalárfüggvény negatív gradienseként:
 ((44,6). egyenlet).
Tehát:
 ((44,7). egyenlet).
Írjuk be az elektromos térerősség ezen kifejezését a (44,2) egyenletbe:
 ((44,8). egyenlet).
A  jobb  oldalon  álló  első  integrál  könnyen  kiszámítható,  és  eredményül  a  kondenzátorfegyverzetek  közötti 
  potenciálkülönbséget  kapjuk.
Foglalkozzunk most a második integrállal. Mivel a vezetőkör nyugalomban van, az idő szerinti differenciálás jele az integrál elé emelhető:
 ((44,9). egyenlet).
A  vektorpotenciál  folytonos  függvénye  a  helynek,  ezért,  mivel  a  kondenzátorlapok  közötti  távolság  kicsi  az  integrációs  tartományt  jelentő
vezetőszakaszhoz képest, az integrál jó közelítéssel zárt áramkörre kiterjeszthető:
 ((44,10). egyenlet).

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
153
A jobb oldali integrál pedig az áramkörön átmenő   indukciófluxussal egyenlő. Ugyanis:
 ((44,11). egyenlet).
Itt felhasználtuk a (44,3) összefüggést és a Stokes-tételt.
A (44,9)–(44,11) egyenletek figyelembevételével (44,8) a következő alakba írható:
 ((44,12). egyenlet).
A kondenzátorlapok közötti 
 potenciálkülönbség a fegyverzetek e töltésével és a C kapacitással kifejezhető:
 ((44,13). egyenlet).
Az indukciófluxus idő szerinti differenciálhányadosa (44,11) szerint a következőképpen írható:
 ((44,14). egyenlet).
Ezeket az összefüggéseket (44,12)-be beírva és rendezve, kapjuk:
 ((44,15). egyenlet).
A kondenzátorlapok feltöltését az áram végzi, ezért az e töltés az idő függvénye, és az áramerősséggel a következő kapcsolatban áll:
,
ha a t = 0 időpillanatban kapcsoltuk be az áramforrást. Ezt (44,15)-be beírva, adódik:
 ((44,16). egyenlet).
Könnyebben kezelhető egyenletet kapunk, ha (44,16) mindkét oldalát differenciáljuk az idő szerint:

---