Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
127
 ((40,11). egyenlet),
ahol a és b integrációs állandók. Ezeket a (40,7) határfeltételekből határozzuk meg. Eszerint
Ezekből adódik:
 ((40,12). egyenlet).
Az integrációs állandók (40,12) értékét (40,11)-be, majd azt (40,8)-ba beírva, megkapjuk az elektromos tér Φ(r, z) potenciálját:
 ((40,13). egyenlet).
Az elektromos térerősséget ebből gradiensképzéssel kapjuk. Írjuk fel az 
E térerősség z és r komponensét:
 ((40,14). egyenlet),
 ((40,15). egyenlet).
Látható, hogy a vezetőt körülvevő szigetelőben az elektromos térerősség már nem z irányú, mint a vezetőben, hanem van radiális komponense is.
A vezető határán E
r
-nek és ezzel együtt D
r
-nek (amik most normális komponensek) ugrása van. Ez azt jelenti, hogy a vezető felületét töltés vonja
be. A töltés sűrűsége:

---

EGYENÁRAMOK
128
 ((40,16). egyenlet).
Mivel 
, negatív z értékekre η > 0, pozitív z értékekre η < 0. Szemléletesen szólva: a felületi töltéssűrűség az áram irányában haladva, a 
-től
a 
-ig változik. A töltés zéruspontja a z = 0 helyen van, amely tetszőlegesen választható. A vezetőből kiinduló térerősségvonalak a visszavezető
felületen végződnek, ott tehát ellentétes előjelű töltésbevonat alakul ki.
A térerősség-komponensek és a felületi töltéssűrűség kifejezéseinek nevezőjében a vezető σ vezetőképessége szerepel, amely igen nagy érték.
Ezért a vezető felületi töltése és az általa keltett elektromos tér erőssége nagyon kicsi.
Mivel az elektromos térerősség radiális komponense nem zérus, a vezető és a visszavezető között véges potenciálkülönbség van:
 ((40,17). egyenlet).
Ha a vezető hosszegységére eső e = 2πr
1
η töltést a (40,17) potenciálkülönbséggel elosztjuk, a vezető és a visszavezető alkotta hengerkondenzátor
hosszegységének kapacitását kapjuk:
 ((40,18). egyenlet).
Most megvizsgáljuk az egyenáram által szállított energia áramlását. Látni fogjuk, hogy az energia nem az áramvezetőben, hanem a körülötte levő
szigetelőben áramlik az áramforrástól a fogyasztóhoz.
Az energia áramsűrűségét a (9,19) egyenlettel definiált Poynting-vektor adja:
 ((40,19). egyenlet).
Mivel a vezető belsejében az elektromos térerősség a 
j = σE Ohm-törvény értelmében z irányú, H pedig azimutális, S-nek nincs z irányú komponense
a vezetőn belül.
Ott  az 
S  vektor  radiális  irányú,  és  a  felületre  merőlegesen  befelé  mutat.  Ez  azt  jelenti,  hogy  a  vezetőben  az  áram  irányában  nem  történik
energiaáramlás. Tehát nem a vezető szállítja az energiát a fogyasztóhoz.

---

EGYENÁRAMOK
129
Vizsgáljuk meg az 
S energiaáramsűrűség-vektort a vezetőn kívüli szigetelőben. Bontsuk fel E-t két összetevőre:
 ((40,19a). egyenlet).
E
z
 a z tengely irányába, 
E
r
 pedig a növekvő r irányába mutató vektor. Az 
S vektor (40,19)-nek megfelelően két vektor összegeként áll elő:
 ((40,20). egyenlet).
S
1
 a vezető felé irányuló radiális energiaáramlást, 
S
2
 pedig z irányú energiaáramlást ír le. Az energia tehát a drót körüli szigetelőben áramlik, amelynek
egy része (az 
S
1
 komponens) folytonosan beáramlik a vezetőbe. Számítsuk ki, hogy 1 s alatt mennyi energia áramlik be a vezető l hosszúságú
felületén. Ezt az 
S vektor normális komponensének (tehát S
1
-nek) az l hosszúságú palástra vett integrálja adja meg:
.
Mivel 
E
z
 a határon  -val egyenlő, ezért
 ((40,21). egyenlet).
Az integrandusz állandó, ezért kiemelhető az integrál elé:
.
Feltéve, hogy 
j az egész vezetőben állandó, 
, amiből
 ((40,22). egyenlet).
Az áramsűrűség (40,22), H(r
1
) (40,1a)-ból adódó kifejezését beírva kapjuk:
 ((40,23). egyenlet),

---

EGYENÁRAMOK
130
ahol 
 a vezető keresztmetszete. A (40,23) egyenlet jobb oldalán álló 
 tényező a vezető l hosszúságú szakaszának ohmikus ellenállása:
 ((40,24). egyenlet).
Ezt (40,23)-ba beírva, kapjuk:
 ((40,25). egyenlet).
(40,25) jobb oldalán a vezető l hosszúságú darabjában 1 s alatt keletkezett Joule-hő kifejezése áll. A (40,25) egyenlet tehát azt fejezi ki, hogy
az l hosszúságú vezetőszakaszba 1 s alatt beáramlott elektromágneses energia a benne időegység alatt keletkezett Joule-hővel egyezik meg. A
vezetőbe beáramló energia tehát Joule-hővé alakul.
A vezető belsejében:
 ((40,26). egyenlet).
A vezető közepe felé áramló energia a középvonal felé közeledve (40,1a) szerint lineárisan csökken az r távolsággal, és a vezető közepén, r = 0-
nál, az energia-áramsűrűség zérussá válik.
A szigetelőben z irányban áramló energiát 
S
2
 írja le:
 ((40,27). egyenlet).
Mivel 
E
r
 és 
H (40,15), illetve (40,1b) alapján   szerint csökken a távolsággal, S
2
 a vezetőtől távolodva   szerint csökken. Ennélfogva az energia
a vezető közvetlen közelében áramlik gyakorlatilag.
Számítsuk ki azt az energiát, amely a vezető és a visszavezető között a z = const síkon 1 s alatt átáramlik. Szemeljük ki a z = const síkkal való
metszetet (50. ábra). Az áram iránya mutasson a lapra merőlegesen a lap mögé. Az 1 s alatt átáramló energia az 
S
2
 vektornak az r
1
-től r
2
-ig terjedő
körgyűrűre vett felületi integrálja:
.

---