Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
119
 ((37,12). egyenlet).
A sík áramvezető mágneses tere a vezetőtől nagyobb távolságban tehát olyan, mintha azt (37,12) momentumú mágnes keltette volna.
A (37,12) képlet tekercsre is alkalmazható. Ha a tekercs menetszáma n, és egy menet által bezárt terület F, akkor a tekercs teljes mágneses
momentuma:
 ((37,13). egyenlet).
Ezt a képletet használjuk például a mágneses tér által forgó tekercses galvanométerre kifejtett forgatónyomaték kiszámításánál.
Egyenáramok mágneses terének energiája. Indukciós együttható
Gondoljunk el tetszőleges alakú vezetőt, amelyben egyenáram folyik. Az árameloszlást a 
j(r) áramsűrűség írja le. A keltett mágneses teret a (36,1),
(36,2) egyenletek határozzák meg. A mágneses térnek van energiája, amely folytonosan oszlik el arra a tartományra, ahol a 
H(r) térerősség zérustól
különbözik. A mágneses térenergia sűrűsége:
 ((38,1). egyenlet).
A teljes térenergiát (38,1) térfogati integrálja adja:
 ((38,2). egyenlet).
Az integrál arra a tartományra terjesztendő ki, amelyet a mágneses tér kitölt. A térenergia (38,2) általános kifejezése áramok esetén más alakban is
felírható. E célból a (
H, B) skaláris szorzatot átalakítjuk a B = rot A összefüggés, valamint a
vektoranalitikai képlet felhasználásával:
.

---

EGYENÁRAMOK
120
A jobb oldali utolsó tagban rot 
H helyére (36,1) alapján beírjuk az áramsűrűség 
-szeresét:
 ((38,3). egyenlet).
(38,3)-at (38,2)-be helyettesítve, a térenergia a következő alakba írható:
 ((38,4). egyenlet).
Az első térfogati integrál a Gauss-tétellel a tekintett fizikai rendszert magába foglaló F felületre vett integrállá alakítható:
 ((38,5). egyenlet).
Ha az F felületet a végtelenbe távolítjuk, akkor a felületi integrál zérussá válik, mert az integrandusz erősebben tart zérushoz, mint a felületelem a
végtelenhez. Ezért az energia (38,4) képletében csak a második tag marad meg:
 ((38,6). egyenlet).
A térenergiának ez a kifejezése az áram és a mágneses tér kölcsönhatási energiájaként értelmezhető.
A gyakorlatban leginkább előforduló lineáris áramok esetén (38,6) tovább egyszerűsödik. Tételezzük fel, hogy a mágneses teret n lineáris áramkör
kelti. Az áramköröket az 1, 2, ..., k, ..., n számozással különböztetjük meg egymástól. A bennük folyó áram erőssége legyen I
k
 (k = 1, 2, ..., n). Mivel
a 
j áramsűrűség a vezetőkben különbözik zérustól, a (38,6) térfogati integrál az egyes áramkörökre vett integrálok összegeként írható:
 ((38,7). egyenlet).
Lineáris áram esetén 
j dV = I ds, ezért
 ((38,8). egyenlet).
Az integrál a k-adik vezetőkörre mint zárt görbére terjesztendő ki. A (38,8) körintegrál a Stokes-tétellel felületi integrállá alakítható:

---

EGYENÁRAMOK
121
 ((38,9). egyenlet).
F
k
  a  k-adik  vezetőkörre  illeszkedő  felület,  amelynek  határvonala  a  k-adik  áramkör.    a  rajta  átmenő  indukciófluxus.  Ennélfogva  a  mágneses
térenergia az áramerősségek és az indukciófluxusok szorzatának összegével fejezhető ki:
 ((38,10). egyenlet).
Egyetlen lineáris áramkör esetén ez a képlet az
 ((38,11). egyenlet)
egyszerű alakot veszi fel.
Térjünk vissza az indukciófluxus (38,9) kifejezéséhez. Az integrálban szereplő 
A vektorpotenciált a (36,27) képlet állítja elő. Ebben az integrálás
azokra a helyekre terjesztendő ki, ahol áram van, tehát a vezetőkre. n vezetőkörből álló lineáris áramrendszer esetén:
 ((38,12). egyenlet),
ahol r
ik
 az i-edik kör d
s
i
 elemének a k-adik kör d
s
k
 elemétől mért távolsága. (38,12)-t (38,9)-be helyettesítve és az egyenlet mindkét oldalát osztva
c-vel:
 ((38,13). egyenlet),
ahol
 ((38,14). egyenlet).
Az  L
ki
  együttható  az  i-edik  és  a  k-adik  vezető  nagyságától,  alakjától  és  helyzetétől  függ,  és  a  két  áramkör  kölcsönös  indukció-együtthatójának
nevezzük. A (38,13) összeg i = k-adik tagja a k-adik áramkörön átmenő indukciófluxusnak azt a részét adja, amely magától a k-adik körtől származik.
A megfelelő L
kk
 együttható a k-adik kör önindukciós együtthatója:

---

EGYENÁRAMOK
122
 ((38,15). egyenlet).
Itt a kétszeres integrálás ugyanarra a vezetőre értendő. L
kk
 (38,15) alapján történő kiszámításánál a vezető nem tekinthető lineárisnak, mert amikor
d
s
k
 egybeesik d
s'
k
-vel, a nevező zérussá válik. A vezetőt a valóságnak megfelelően véges keresztmetszetűnek kell tekintenünk. Emiatt a matematikai
nehézség miatt L
kk
 csak a legegyszerűbb esetekben számítható ki (38,15)-ből. A gyakorlati problémáknál általában méréssel vagy félempirikus
képletekkel szokták meghatározni.
A lineáris vezetők mágneses terének energiája (38,10) és (38,13) alapján az áramerősségek kvadratikus kifejezésével állítható tehát elő:
 ((38,16). egyenlet).
Ha csak egyetlen áramkörről van szó, amelyben I erősségű áram folyik és önindukciós együtthatója L, mágneses terének energiáját az
 ((38,17). egyenlet)
egyszerű képlet adja meg. [Ez a képlet alakra nagyon hasonlít a töltött vezetők elektrosztatikus terének energiáját megadó (25,7) képlethez.]
Az áramra ható erő
Az áram által átjárt vezető mágneses tere révén a közelébe helyezett mágnesre erőt fejt ki. A mechanikai hatás-visszahatás elve (Newton III. axiómája)
szerint a mágnes is erőt fejt ki az áramra. Feladatul tűzzük ki ennek az erőnek a meghatározását.
48. ábra -
Képzeljünk el valamilyen 
j(r) árameloszlást és a vezető közelében egy m momentumú kis mágnest (48. ábra). A vezető térfogategysége által keltett
mágneses tér az 
m mágneses momentum helyén (36,34) alapján

---