Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
101
 ((33,5'). egyenlet).
Ezeken kívül természetesen kielégítendők még a különböző szigetelők határára vonatkozó egyenletek is:
 ((33,6). egyenlet),
 ((33,7). egyenlet).
Az így meghatározott Φ potenciálból az elektromos térerősséget (33,1) alapján gradiensképzéssel kapjuk. Majd ebből (32,1) felhasználásával adódik
a 
j áramsűrűség. A probléma megoldását a bonyolult határfeltételek teszik nehézzé. Egyszerűen megoldhatók azok a feladatok, amelyeknél a vezető
végtelen kiterjedésű, mert ilyenkor a határfeltételek nem lépnek fel, vagy ha véges keresztmetszetű végtelen hosszú vezetőről van szó, akkor is
könnyen kielégíthetők. (A végtelen hosszú kábel esetét fogjuk majd példaként tárgyalni a 40. pontban.)
Integrális Ohm-törvény zárt áramkörre
Az adott áramforrások és vezetők által meghatározott árameloszlást és térerősséget az előző pont alapján számíthatjuk ki általában. Mint már
rámutattunk,  az  esetek  legnagyobb  részében  ez  igen  körülményes.  A  gyakorlatban  előforduló  egyszerűbb  esetekben  célszerű 
j  helyett  az  I
áramerősséget kiszámítani. Erre a kísérletekkel jobban hozzáférhető képletek adódnak.
Gondoljunk el lineáris vezetőből álló zárt áramkört, amelyben egy helyen valamilyen áramforrást (pl. galvánelemet) helyeztünk el. Az áramforrás
helyén 
E' ≠ 0. Lineárisnak nevezzük a vezetőt akkor, ha az áramsűrűség iránya megegyezik a ds vonalelem irányával. A vezetőben folyó áram
sűrűsége (32,1) szerint függ a vezetőben uralkodó 
E térerősségtől és E'-től:
 ((34,1). egyenlet).
Az egyenlet mindkét oldalát osszuk el a σ vezetőképességgel, szorozzuk a d
s vonalelemmel, majd integráljuk a zárt áramkör alkotta görbére:
 ((34,2). egyenlet).
A jobb oldali első integrál az 
E = –grad Φ összefüggés miatt zérussal egyenlő:
.
Mivel a vezető lineáris, 
j ds = j ds. A bal oldali integrálban a számlálót és a nevezőt szorozzuk meg a vezető q keresztmetszetével:

---

EGYENÁRAMOK
102
.
A jq szorzat az áram I erősségével egyezik meg: I = jq, amely az egész vezető mentén állandó, és ezért kiemelhető az integrál elé. Ennélfogva
(34,2) a következőképpen írható:
 ((34,3). egyenlet).
A bal oldali integrál (5,6) alapján a zárt vezetőkör ohmikus ellenállását jelenti:
 ((34,4). egyenlet).
A jobb oldalon levő körintegrált az áramforrás elektromotoros erejének nevezzük és  -vel jelöljük:
 ((34,5). egyenlet).
A (34,3) egyenlet e jelölésekkel a következőképpen írható:
 ((34,6). egyenlet).
Tehát az áramerősségnek és a zárt kör teljes ellenállásának a szorzata az áramforrás   elektromotoros erejével egyenlő. (34,6) az Ohm-törvényt
adja zárt áramkörre.
Mivel az áramforráson kívül, a homogén vezetőben 
E' = 0, a (34,5) körintegrál megegyezik az áramforrás két sarka (a galvánelem két kivezetése)
közötti vonalintegrállal:
.
Nyitott elem esetén (41. ábra) az elektromotoros erő a két kivezetés közötti potenciálkülönbséggel, az ún. kapocsfeszültséggel egyenlő:
.

---

EGYENÁRAMOK
103
41. ábra -
(Az integrációs út – természetesen – a galvánelem belsejében értendő.)
A Kirchhoff-törvények
Gondoljunk el lineáris vezetőkből álló hálózatot (42. ábra), amely több zárt áramkörből áll. Feltételezzük, hogy a hálózatban   elektromotoros erejű
áramforrások is vannak. Az egyes vezetőszakaszok ellenállását R
k
-val, a rajtuk átfolyó áram erősségét I
k
-val jelöljük. Kirchhoff első törvénye több
vezetődarab találkozási pontjára, az ún. elágazási pontokra vonatkozik. Szemeljünk ki egy elágazási pontot, és vegyük körül egy F zárt felülettel. A
zárt felület által meghatározott térfogatot jelöljük V-vel. A (31,1) egyenletet integráljuk a V térfogatra:
 ((35,1). egyenlet).
42. ábra -

---

EGYENÁRAMOK
104
Ez a térfogati integrál Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható:
 ((35,2). egyenlet).
A 
j áramsűrűség az F felület mentén csak azokon a helyeken különbözik zérustól, ahol az F felületet az egyes vezetőszakaszok átdöfik. Ha az
egyes vezetők keresztmetszetét q
1
, q
2
, ..., q
k
-val jelöljük, akkor a (35,2) felületi integrál ezen vezető-keresztmetszetekre vett integrálok összegeként
írható fel:
 ((35,3). egyenlet).
A 
j áramsűrűség normális komponensének a q
k
 keresztmetszetre vett integrálja a k-adik vezetődarabban folyó I
k
 áramerősséggel egyezik meg. Ezért
(35,3) tulajdonképpen azt fejezi ki, hogy az elágazási pontba folyó áramerősségek algebrai összege zérus:
 ((35,4). egyenlet).
A Gauss-tétel alkalmazásánál az F felület külső normálisát szoktuk pozitívnak választani, ezért (35,3) alapján az elágazási pontból kifolyó áram
erősségét pozitív, a befelé folyót pedig negatív előjellel kell vennünk a (35,4) összegben.
Kirchhoff második törvénye zárt áramkörökre vonatkozik, és tulajdonképpen a (34,6) Ohm-törvény általánosítása arra az esetre, amikor az áramkör
nem  egyetlen,  hanem  több  vezetőszakaszból  áll,  és  a  körben  esetleg  több  áramforrás  is  van.  Ehhez  a  következő  gondolatmenettel  jutunk.
Kiszemelünk a hálózatban egy zárt áramkört, és arra alkalmazzuk a
j = σ(E + E')
általánosított  Ohm-törvényt.  Ennek  az  egyenletnek  a  zárt  áramkörre  vett  vonal  menti  integrálja  az  előző  pontban  követett  gondolatmenettel  a
következő eredményre vezet:
 ((35,5). egyenlet).
Itt az összegezés a zárt áramkört alkotó vezetőszakaszokra értendő.   a k-adik szakaszban levő áramforrás elektromotoros ereje.
A Kirchhoff-törvények segítségével adott R
k
 és   értékek esetén meghatározhatjuk az I
k
 áramerősségeket. A (35,4) és (35,5) egyenleteket minden
elágazási pontra, illetve minden, a hálózatban levő zárt áramkörre felírva általában több egyenletet kapunk, mint amennyi az ismeretlenek száma.
Az így felírt egyenletek tehát nem mind függetlenek egymástól. Konkrét esetekben ki kell választani a független egyenleteket, és azok egyértelműen
megadják a probléma megoldását. Erre példaként tekintsük a következő egyszerű hálózatot, amelyben két áramforrás van (43. ábra). Az (1) elágazási
pontban

---