Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
51
 ((19,4). egyenlet)
Ha a P pont messze van a dipólustól, vagy a két töltés igen közel van egymáshoz, akkor az a
2
-es tagok elhagyhatók a többi mellett. Ebben a
közelítésben írható:
 ((19,5). egyenlet).
 ((19,6). egyenlet).
A (19,6)-ból adódó
kifejezést (19,2)-be beírva, kapjuk, hogy
.
Vegyük figyelembe itt is, hogy a kicsi az r
1
-hez és r
2
-höz képest. Ekkor 
, 
. A dipólus sztatikus terének potenciálja az alkalmazott
közelítésben tehát:
 ((19,7). egyenlet).
A (19,7) potenciálképlet levezetésénél használt közelítések annál inkább érvényesek, minél közelebb van a két töltés egymáshoz, vagyis minél
kisebb az 
a távolság. Ha a dipólus jellemző adatának a p dipolmomentumot tekintjük, és a pontszerű dipólus határesetére térünk át, akkor (19,7) a
potenciál pontos kifejezését adja. Könnyen belátható, hogy (19,7) a következő alakba is írható:
 ((19,8). egyenlet),

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
52
ahol a grad a dipólus koordinátái szerinti deriváltakat tartalmazza.
A pontszerű dipólus elektrosztatikus terének 
E térerősségét (19,7)-ből gradiensképzéssel kapjuk:
 ((19,9). egyenlet).
(19,9)-ből látszik, hogy a pontszerű dipólus terének 
E térerőssége a dipólustól mért távolság harmadik hatványával fordítva arányos. A dipólus helyén
tehát erősebb szingularitása van, mint a ponttöltés terének.
Kettősréteg
Tekintsünk egy felületet, és tételezzük fel, hogy az egyik oldala pozitív, a másik oldala ugyanolyan nagyságú negatív elektromossággal van bevonva.
Az ilyen folytonos töltéseloszlást nevezzük kettősrétegnek. A kettősréteg felfogható úgy is, mint folytonos felületi dipóluseloszlás. Az elemi dipólusok
momentumának iránya a negatív töltésű oldaltól a pozitív felé mutató felületi normális irányával egyezik meg.
A dipóluseloszlás jellemzésére a felületi dipolmomentum-sűrűséget használjuk. Ezt a mennyiséget a Bevezetés (10) egyenletével definiáljuk és 
v-
vel jelöljük.
Feladatul  tűzzük  a  kettősréteg  elektrosztatikus  terének  a  meghatározását.  A  kettősréteget 
  momentumú  elemi  dipólusok  felületi
eloszlásaként fogjuk fel (31. ábra). A tér potenciálja ezen elemi dipólusok (19,8) potenciáljainak összegezésével állítható elő:
.
31. ábra -

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
53
Ha  a  felület  ΔF  elemekre  való  feloszlását  minden  határon  túl  finomítjuk,  akkor  az  összegezés  a  felületre  vett  integrálba  megy  át.  A  folytonos
dipóluseloszlás határesetében tehát:
 ((20,1). egyenlet).
(Megjegyezzük, hogy a grad képzése a felületi pontok koordinátái szerint értendő.)
A potenciál (20,1) kifejezését kis átalakítással még egyszerűbb alakra hozhatjuk. Nevezetesen:
 ((20,2). egyenlet),
ahol   a P ponttól a felületi pont felé mutató egységvektor. A 
ν dipolmomentum-sűrűséget írjuk a következő alakba:
 ((20,3). egyenlet),
ahol 
n a felület pozitív bevonata felé mutató normális irányú egységvektor.
A (20,2) és (20,3) kifejezéseket (20,1)-be beírva, kapjuk a
 ((20,4). egyenlet)
összefüggést. Itt cos (n, r) az 
n és   egységvektorok által bezárt szög cosmusa.
Az értelmezésből következik, hogy cos (n, r) akkor pozitív, ha a P pont a negatív bevonatú oldalon van, és negatív, ha a másikon. A dF cos (n, r)
abszolút értéke a dF felületelemnek azon gömbfelületre való vetülete, amelynek középpontja a P pont, és átmegy a kiszemelt felületi ponton (32.
ábra). Tehát
.

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
54
32. ábra -
Az r sugarú gömbfelület dF felületeleme r
2
-szerese annak a dΩ térszögnek, amely alatt a dF
g
, illetve dF
g
 a P pontból látszik:
.
Vegyük először azt az esetet, amikor a P pont a negatív bevonatú oldalon van. Ekkor cos (n, r) > 0, ezért dF cos (n, r) = r
2
dΩ. Így a potenciál
 ((20,5). egyenlet).
Ha a P pont a pozitív bevonatú oldalon van, akkor (n, r) tompaszög, így cos (n, r) < 0, ezért dF cos (n, r) = –r
2
dΩ. Tehát
 ((20,6). egyenlet).
A (20,5) és (20,6) képletek egybefoglalhatók, ha a dΩ térszögnek előjelet tulajdonítunk. Megállapodunk abban, hogy dΩ-t akkor tekintjük pozitívnak,
ha a P pont a pozitív bevonatú oldalon van, és negatívnak, ha a negatív töltésű oldalon. Ekkor a kettősréteg potenciálja így írható:
 ((20,7). egyenlet).
Homogén kettősréteg esetén v = const, ezért
 ((20,8). egyenlet),
ahol Ω az egész felület térszöge a P pontból.
(20,8)-ból látható, hogy homogén zárt kettősréteg potenciálja bármely külső pontban zérus, a belső pontokban pedig állandó, és értéke ±4πν aszerint,
hogy a pozitív vagy a negatív bevonatú oldal van belül.

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
55
Vizsgáljuk meg, hogyan változik a kettősréteg potenciálja, ha a P pont áthalad a kettősrétegen. Tegyük fel, hogy a felület P' pontján halad át.
A potenciál P'-től távoli felületelemektől származó járuléka folytonosan változik, mert ezekre vonatkozóan az integrandusz reguláris. Ugrásszerű
változás csak a P' pont közvetlen közeléből eredhet, ezért elég a P' pont körüli dF felületelem járulékát vizsgálni. Ebben a felületelemben ν állandónak
vehető. Ha a negatív bevonatú oldalról közeledik a P pont P'-höz, akkor a térszög –2π-hez tart. A felületelemen való áthaladás után P' közvetlen
közelében a felületelem térszöge +2π. A potenciál a kettősrétegen való áthaladás során tehát ugrást szenved. Az ugrás nagyságát az áthaladás
pontjában érvényes v(P') momentumsűrűség szabja meg:
 ((20,9). egyenlet).
Térfogati dipóluseloszlás (elektrétek) elektrosztatikus tere
Tételezzük fel, hogy a tér valamely V térfogatát olyan anyag tölti ki, amelyben elemi dipólusok folytonosan oszlanak el. Ilyen térfogati dipóluseloszlást
pl.  a  következőképpen  készíthetünk.  Olvasztott  gyantát  vagy  ként  homogén  elektromos  térbe  helyezünk.  Az  elektromos  tér  hatására  az  anyag
dipolmomentummal rendelkező molekulái beállnak a térerősség irányába. Ezután a gyantát kihűlni hagyjuk, amíg megszilárdul. Ezáltal a molekulán
belüli dipólusok a szilárd gyantában rögzítődnek. Az így megszilárdított gyanta vagy kén az elektromos tér kikapcsolása után is megőrzi elektromos
dipolmomentumát, amely folytonosan oszlik el az anyagban. Az állandó térfogati dipoleloszlással rendelkező testeket elektréteknek nevezzük.
A  térfogati  dipóluseloszlás  jellemzésére  a  (10)  egyenlettel  definiált 
P(r)  dipolmomentum-sűrűséget  használjuk.  Az  általa  keltett  sztatikus  tér
potenciálját elemi dipólusok potenciáljainak összegeként állítjuk elő, majd a folytonos eloszlás határesetére áttérve, az összeg térfogati integrálba
megy át. A keresett potenciál tehát a következő:
 ((21,1). egyenlet).
[Ez a képlet a (20,1) potenciálképletnek térfogati analogonja.] Az integrálás arra a V tartományra terjesztendő ki, ahol 
P zérustól különböző, tehát
a térfogati dipóluseloszlással rendelkező anyag térfogatára.
A potenciál (21,1) képlete a
vektoranalitikai összefüggés felhasználásával a következő alakba írható:
 ((21,2). egyenlet).

---