50
общая линейная -
F
n
GL ,
- (4.4.14),
диагональная -
F
n
D ,
- (4.4.15),
треугольная -
F
n
T
,
- (4.4.20),
унитреугольная -
F
n
UT ,
- (4.4.21),
без кручения - (4.4.21),
ортогональная -
F
n
O ,
- (4.4.24),
унитарная -
n
U
- (4.4.33),
специальная линейная -
F
n
SL ,
- (4.9.4),
специальная ортогональная -
F
n
SO ,
- (4.9.4),
специальная унитарная
n
SU
- (4.9.4).
В задаче (4.8.4) дано понятие определителя Вандермонда, в (4.5.10) – порядок
подстановки, в (4.4 35) – частный случай алгебраической структуры – тело, в (4.5.7) –
независимые циклы и т.д.
Теперь покажем некоторые задачи, в которых выражаются новые предложения курса
алгебры:
Лемма Шура – (4.3.20); свойства операции транспонирования – (4.3.21); свойства
симметрической матрицы - (4.3.35); свойства кососимметрической матрицы - (4.3.35);
обратная матрица к симметрической (кососимметрической) сама является
симметрической (кососимметрической) - (4.4.23); определитель эрмитовой матрицы есть
действительные числа – (4.6.14); свойства присоединенной матрицы – (4.10.4); необходимые
и достаточные условия
для того, чтобы квадратная матрица была ортогональной – (4.10.4).
Наконец, покажем некоторые методы, которые обосновываются в задачах:
представление подстановки в виде произведения независимых циклов – (4.5.7); вычисление
порядка подстановки – (4.5.12); вычисление определителя методом приведения к
треугольному виду – (4.7.1).
В связи с усвоением теоретических материалов, задаваемых упражнениями и
задачами, возникает ряд методических проблем:
1) чтобы не нарушать систематичность лекций по алгебре, понятия, предложения и
методы, вводимые в задачах, обычно не рассматриваются в лекционных курсах - это
повышает вероятность забывания материала;
2)
следует искать пути для создания интеграции между лекционными материалами и
теоретическими материалами, вводимыми в практических занятиях;
3)
следует определить возможности контроля усвоения теоретических материалов,
вводимых через упражнения и задачи;
4)
следует координировать вводимые понятия в лекционных курсах и различных
сборниках задач по алгебре.
Для решения этих вопросов может быть полезным выполнение следующих указаний:
1)
в число экзаменационных вопросов по курсу алгебры включать вопросы по
теоретическим материалам, введенным в процессе решения задач и упражнений.
Например, метод вычисления детерминантов с помощью приведения в
треугольную форму дается только на практических занятиях. Для обоснования
этого метода используются свойства детерминантов, преподаваемые на лекциях.
Для проверки усвоения указанного метода на экзамене можно предложить