Erkli sinovlar ketma-ketligi. Limit teoremalar

Erkli sinovlar ketma-ketligi. Limit teoremalar.
Reja:
1. Bernulli teoremasi.
2. Puasson teoremasi.
3. Muavr-Laplasning teoremalari.
4. Eng katta ehtimollik son.


Ta’rif. Takrorlanadigan sinovlarda har birining u yoki natijasining ehtimolligi boshqa sinovlarda qanday natijalar bo‘lganligiga bog‘liq bo‘lmasa, ular bog‘liqmas sinovlar ketma-ketligini hosil qiladi deyiladi.
n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p ga teng bo‘lib, bu ehtimol tajriba o‘tkazish davomida o‘zgarmasin. n ta bog‘liqmas tajribada A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimolini P_n(k) deb belgilaylik.
Bernulli teoremasi. n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
P_n(k) - A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli, n -tajribalar soni, p - hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimoli, q - hodisaning bitta tajribada ro‘y bermasligi ehtimoli, k - n ta tajribada A hodisaning ro‘y berishlar soni
Puasson teoremasi. n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p nolga shunday intilsaki,natijada bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Tajribalar soni n yetarlicha katta bo‘lganda P_n(k) ehtimollarni Bernulli formulasi bo‘yicha hisoblash katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bunday xollarda hisoblashni osonlashtiruvchi formulalarga (xatto ular izlanayotgan ehtimollning taqribiy qiymatini bersa ham) ehtiyoj tug‘iladi. Bunday formulalar asimtotik formulalar deyiladi. Quyida shunday formulalar bilan tanishamiz.
Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0<p<1) ga teng bo‘lgan n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban ga teng. Bu yerda,
- funksiyaning qiymatlar jadvali 1-ilovada keltirilgan (x) juft funksiya, demak . Bu Laplasning lokal teoremasi deyiladi.
1-misol. Agar omborlarda saqlanayotgan mevaning buzilishlari ehtimoli 0,25 ga teng bo‘lsa, 243 t mevaning rosa 70 t sini buzilish ehtimolini toping.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=243; k=70; p=0,25; q=0,75 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning lokal teoremasidan foydalanamiz.

Bu yerda

x ning qiymatini topamiz:

Jadvaldan (1,37)=0,1561 ni topamiz. Buni Laplasning lokal formulasiga qo‘yib ni topamiz.
Muavr-Laplasning integral teoremasi.
Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0<p<1) ga teng bo‘lgan n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisaning kamida marta va ko‘pi bilan marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban ga teng. Bu yerda , . - funksiya Laplas funksiyasi deyiladi.
x ning musbat qiymatlari uchun Laplas funksiyasining qiymatlari 2-ilovadagi jadvalda keltirilgan. x>5 bo‘lsa, Ф(x)=0,5 deb olinadi. Ф(x) funksiya toq funksiyadir. Shuning uchun manfiy qiymatlarda buni hisobga olish kerak bo‘ladi.
2-misol. Fermer xo‘jaliklariga o‘rnatilgan elektr hisoblagichlarning buzilmasdan ishlash ehtimoli o‘zgarmas bo‘lib, p=0,8 ga teng. O‘rnatilgan 100 dona hisoblagichdan kamida 75 tasi va ko‘pi bilan 90 tasining buzilmasdan ishlash ehtimolini toping.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=100; k₁=75; k₂=90; p=0,8; q=0,2 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz. larni hisoblaymiz:


Laplas funksiyasining toq ekanligidan quyidagini hosil qilamiz:
P₁₀₀(75;90)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25). Jadvaldan Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944 ni topamiz. Laplasning integral teoremasiga ko‘ra biz qidirayotgan ehtimollik P₁₀₀(75;90)= 0,4938+0,3944=0,8882 ga teng bo‘ladi.
Eslatma. n≤20 da Bernulli formulasi, n>20, p0,02 da Puasson formulasi, n>20, 0,02< p<0,98 da Muavr - Laplas formulalari qo‘llaniladi.
Hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni.
Aniqlangan p ehtimolda P_n(k) ehtimol k ning funksiyasi ekani ravshan. Agar ihtiyoriy uchun ; bo‘lsa, u holda son hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni deyiladi.
Eng katta ehtimolli son quyidagi qo‘sh tengsizlikdan aniqlanadi.

bu yerda:
a) agar np-q son kasr bo‘lsa, u holda bitta eng katta ehtimolli son mavjud;
b) agar np-q son butun bo‘lsa, ikkita eng katta ehtimolli sonlar va mavjud;
c) agar np butun son bo‘lsa, bo‘ladi.
Izoh. p yetarlicha katta bo‘lganda ning qiymati dan aniqlanadi.


Mustahkamlash uchun savollar:
1. Binomial sxema deganda nimani tushunasiz?
2. Erkli tajribalar qanday aniqlanadi?
3. Bernulli teoremasi qachon qo‘llaniladi?
4. Puasson teoremasini ta’riflang.
5. Muavr-Laplasning lokal teoremasi qanday shartlarda bajariladi?
6. Muavr-Laplasning integral teoremasi qanday hollarda qo‘llaniladi?
7. Eng katta ehtimollik son qanday topiladi?
8. Bog‘liqmas sinovlar ta’rifini ayting.
9. Puasson teoremasi qanday shartlarda bajariladi?