Fea-mandelbrot-mem dvi

have my original copy of his book, signed by

Benoît, on the one occasion at Princeton that

we met.

—John Hutchinson

Iterated function systems (IFSs) are now a

standard framework for handling deterministic

fractals, self-similar sets and measures. They were

named by this author and Stephen Demko [1],

though Benoît thought we should have called

them “map bags”. He was fascinated by models of

leaves with veinlike internal structures made by

invariant measures of IFSs.

Hutchinson’s paper and the work of many oth-

ers influenced by Mandelbrot ended a long period

where geometry and the use of pictures played

little role in mathematics. Mandelbrot believed

passionately in pictorial thinking to aid in the de-

velopment of conjectures and formal proofs. His

advocacy has enabled it to be okay once again for

mathematicians to do experimental mathematics

using pictures.

Mandelbrot’s ideas have inspired a huge amount

of research, from pure mathematics to engineer-

ing, and have resulted in deep theorems; a new

acceptance of geometry and pictures as having a

role to play in experimental mathematics; and var-

ious applications, including image compression

and antenna design. The notion of a fractal now

forms part of good preuniversity mathematics ed-

ucation, while the mathematical study of fractals

has its own specialist areas, including, for exam-

ple, analysis on fractals [8] and noncommutative

fractal geometry [9].

One important idea of Mandelbrot was that

various random phenomena, such as stock market

prices, are governed by probability distributions

with “fat tails”. This led him to warn in 2004 that

“Financial risks are much underestimated. I think

we should take a strongly conservative attitude

towards evaluating risks.” The subsequent global

financial crisis underlined his point.

Prior to editing both this article and [3], we

emailed colleagues to ask for memories and com-

ments on Benoît’s contributions to mathematics,

influence, and personal recollections. We received

replies from many: not only mathematicians but

artists, physicists, biologists, engineers, and so on.

Using these replies we have produced two articles:

this one and [3], which is more focused on recol-

lections of the man himself. Our goal has been to

put together something special using the words

of everyone who wrote but, in general, editing and

shortening to avoid repetition of themes.

From early on, Mandelbrot was driven by a

desire to do something totally original, to look at

problems that others found too messy to consider,

and to find some deep unifying principles. As the

Figure 3. Superposition of the attractors, colored

using fractal transformations (see [2]) of two

simple bi-affine iterated function systems.

words in the following contributions show, he

succeeded.

Roger Howe

Participating in a Conversation That Takes

Place over Long Spans of Time

One pleasure of doing mathematics is the sense

of participating in a conversation that takes place

over long spans of time with some of the smartest

people who ever lived. Benoît’s work on fractals

provides a good example of this kind of long-term

dialogue.

A significant factor in the invention of calculus

was the idea of representing a curve by the graph

of a function and, reciprocally, of representing the

time variation of a quantity by a curve. This back-

and-forth identification allowed one to connect

the drawing of tangent lines with finding the rate

of change of quantities that vary in time.

When calculus was invented in the seventeenth

century, the concept of function was not very

precise. Work during the eighteenth century on

solving the wave equation using sums of sine and

cosine functions led to a sharpening of under-

standing of the essential properties of functions

and of their behavior. This led in the first half of

the nineteenth century to the isolation by Cauchy

of the notion of continuity, which made clear

for the first time the distinction between con-

tinuity and differentiability. During the rest of

the nineteenth century, mathematicians explored

this difference, which contributed to the general

unease and insecurity about the foundations of

mathematics. Hermite is quoted as “recoiling in

horror from functions with no derivatives.” The

early twentieth century saw the production of

Roger Howe is professor of mathematics at Yale University.

His email address is [e-mail].

1210

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

Figure 4. Two illustrations of IFS semigroup tilings. The triangle on the left is tiled with the orbit of a

six-sided figure under a system of two affine transformations. The limit set of the set of triangular

tiles on the right is the attractor of a system of three affine transformations. A theme of Benoît’s work

was that the iteration of simple rules (e.g., elementary geometrical transformations) can produce

nondifferentiable (rough) objects. Figure from [2].

a menagerie of striking examples (the Cantor

set, the Koch snowflake, the Sierpinski carpet,

etc.) illustrating the difference between continuity

and differentiability. However, for several decades

these examples were regarded as exotica, mon-

sters with no relation to the physical world. They

were objects only a mathematician would inves-

tigate. They were liberated from this marginal

status by Mandelbrot, who said, “Wait a minute.

A lot of things in the world—clouds, river sys-

tems, coastlines, our lungs—are well described by

these monsters.” Thus started the use of these

mathematical objects to study complicated, messy

nature.

Ian Stewart

No Lily-White Hands

I first learned about fractals from Martin Gar-

dener’s Scientific American column. I promptly

bought a copy of Fractals: Form, Chance, and Di-

mension [16]. Despite, or possibly because of, its

unorthodoxy and scope, it seemed to me that

Benoît Mandelbrot had put his finger on a brilliant

idea.

I’m pleased that, towards the end of his life, he

received due recognition, because it took a long

time for the mathematical community to under-

stand something that must have been obvious to

him: fractals were important. They were a game

changer, opening up completely new ways to think

about many aspects of the natural world. But for

a long time it was not difficult to find professional

Ian Stewart is emeritus professor of mathematics at the

University of Warwick, UK. His email address is I.N.

[e-mail].

research mathematicians who stoutly maintained

that fractals and chaos were completely useless

and that all of the interest in them was pure hype.

This attitude persisted into the current century,

when fractals had been around for at least twenty-

five years and chaos for forty. That this attitude

was narrow-minded and unimaginative is easy to

establish, because by that time both areas were

being routinely used in branches of science rang-

ing from astrophysics to zoology. It was clear that

the critics hadn’t deigned to sully their lily-white

hands by picking up a random copy of Nature or

Science and finding out what was in it.

To be sure, Mandelbrot was not a conventional

academic mathematician, and his vision often

carried him into realms of speculation. And it was

easy to maintain that he didn’t really do much

that was truly novel—fractal dimension had been

invented by Hausdorff, the snowflake curve was

a century old, and so on. Mathematicians would

have cheerfully gone on employing Hausdorff-

Besicovitch dimension to consider such questions

as finding a set of zero dimension that covers

every polygon, but they would not have figured

out that quantifying roughness would make it

possible to apply that kind of geometry to clouds,

river basins, or how trees damp down the energy

of a hurricane.

Mandelbrot’s greatest strength was his instinct

for unification. He was the first person to real-

ize that, scattered around the research literature,

often in obscure sources, were the germs of a

coherent framework that would allow mathemat-

ical models to go beyond the smooth geometry

of manifolds, a reflex assumption in most areas,

and tackle the irregularities of the natural world

October

2012

Notices of the AMS

1211

---