Fea-mandelbrot-mem dvi

Figure 13. “Zoom in a few times…mysterious

spirals of spirals of spirals appear.”

meshing perfectly with my preoccupations at the

time. For further details, see my earlier tribute [4]

or my home page [5].

Michael Frame

I Believe the Classroom Is an Appropriate

Stage for a Final View of Benoît’s Work

Here I’ll give a sketch of the remarkable breadth

and depth of Benoît’s work, setting most examples

in the world I know best, the classroom. That

students in college, high school, and elementary

school study the concepts Benoît developed filled

him with happiness. In his memoirs [26], Benoît

describes his reaction to student comments after

his lecture, “Uncanny forms of flattery! Each lifted

me to seventh heaven! Truly and deeply, each

marked a very sweet day! Let me put it more

strongly: it is occasions like that that make my

life.” For this reason, I believe the classroom is an

appropriate stage for a final view of Benoît’s work.

In September 2010, a few days after Benoît told

me of his diagnosis, I watched the eighty students

in my fractal geometry course learn in a single class

how to generate the fractals pictured in Figure 12

just by looking at the images and understanding

a few attributes of plane transformations.

Their surprise and satisfaction are what Benoît

gave me, gave the mathematical world. To those

who doubt the value of this approach, I say

compare a standard geometry class lesson on

plane transformations with this day in any fractals

class. The combination of visually complex images

and the ability to decode these images by a few

simple rules explains why fractals are a wonderful

tool for teaching geometry.

A few weeks later in the course, I showed

these pictures again and asked the class to

find their dimensions. Immediately, they answered

log(3)/ log(2) and log(6)/ log(3) for the first two,

and after a moment, log((−1 +

√

3)/2)/ log(1/2)

for the third. That thousands, maybe tens of

thousands, of students know how to compute

and interpret dimensions and that dimension

measures complexity and roughness of objects

mathematical (Julia sets, Kleinian group limit

sets), physical (aggregation clusters, the distribu-

tion of galaxies), biological (pulmonary, nervous,

and circulatory systems), and artistic (Pollock’s

drip paintings, at least according to some) are

due to Benoît. Some knew bits of the picture;

Benoît assembled the whole and got many, many

others working on measuring and interpreting

dimensions.

For the teacher of a fractals class, the best

moment occurs during the day the Mandelbrot

set is introduced. The formula z

n+1

= z

2

n

+ c is

simplicity itself. Describe the iteration process

and the color coding, start the program running

(seconds now for images that burned hours or

days with the personal computers of the mid-

1980s), and wait. (See Figure 1.) Startling baroque

beauty, but from a class jaded by CGI effects,

only a few polite “Oohs” and “Ahhs”. Zoom in a

few times near the boundary; mysterious spirals

of spirals of spirals appear. (See Figure 13). A bit

more emphatic exclamations of surprise, and then,

“You do remember this is produced by iterating

z

n+1

= z

2

n

+ c, don’t you?” Expressions of disbelief

and occasional profanity follow.

Another day or two describing the known ge-

ometry of the Mandelbrot set, the arrangement

of the cyclic components, the infinite cascade of

ever smaller copies of the whole set, and this

complicated object starts to seem familiar. Then

state the hyperbolicity conjecture and point out it

remains a conjecture despite two decades of work

by brilliant mathematicians. Beautiful pictures for

sure; deep, deep mathematics, you bet.

1218

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

Some Key Events in the Life of Benoît B. Mandelbrot

1924

Born in Warsaw, Poland, 20 November

1936

Moved to Paris

1939

Moved to Tulle

1947

Ingenieur diploma, École Polytechnique

1948

M.S. aeronautics, CalTech

1952

Ph.D. mathematics, University of Paris

1953

Postdoc at MIT, then IAS postdoc of von Neumann

1955

Married Aliette Kagan

1958

Moved to the U.S., joined IBM Thomas J. Watson

1963

Publication of “On the variation of certain speculative prices”, [11] and

“The stable Paretian income distribution, when the apparent exponent is near two” [12]

1967

Publication of “How long is the coast of Great Britain?” [13]

1972

Visiting professor of physiology, Albert Einstein College of Medicine

1974

Publication of “Intermittent turbulence in self-similar cascades:

Divergence of high moments and dimension of the carrier” [14]

1975

Publication of Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension [15]

1977

Publication of Fractals: Form, Chance, and Dimension [16]

1979

Began studying the Mandelbrot set; formulated the MLC (Mandelbrot

set is locally connected) conjecture

1980

Publication of “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z)

for complex λ and z” [17];

formulated the question that the Mandelbrot set is connected

1982

Publication of The Fractal Geometry of Nature [18];

Fellow of the American Academy of Arts and Sciences;

formulated the 4/3 conjecture and that the inside and outside of the

Brownian boundary curve are statistically self-similar; connectivity of the

Mandelbrot set proved by Douady and Hubbard

1984

TED lecture; formulated the n

2

conjecture, proved by

Guckenheimer and McGehee

1985

Barnhard Medal, U.S. National Academy of Sciences;

formulated the conjecture that the boundary of the Mandelbrot

set has dimension 2

1986

Franklin Medal, Franklin Institute; D.Sc., Syracuse University

1987

Foreign associate, U.S. National Academy of Sciences;

Abraham Robinson Adjunct Professor of Mathematical Sciences at Yale;

D.Sc., Boston University

1988

Steinmetz Medal, IEEE; Science for Art Prize, Moet-Hennessy-Louis

Vuitton; CalTech Alumni Distinguished Service Award;

Humboldt Preis, Humboldt-Stifftung;

honorary member, United Mine Workers of America;

D.Sc., SUNY Albany, Universität Bremen

1989

Chevalier, National Legion of Honor, Paris;

Harvey Prize for Science and Technology, Technion;

D.Sc., University of Guelph

1990

Fractals and Music, Guggenheim Museum, with Charles Wuorinen

1991

Nevada Prize

1992

D.Sc., University of Dallas

1993

Wolf Prize in Physics;

D.Sc., Union College, Universitè de Franche-Comtè, Universidad

Nacional de Buenos Aires

October

2012

Notices of the AMS

1219

---

1994

Honda Prize; J.-C. Yoccoz awarded the Fields Medal, in part for his

work on MLC; Shishikura proved the Mandelbrot set boundary

has dimension 2

1995

D.Sc., Tel Aviv University

1996

Médaille de Vermeil de la Ville de Paris

1997

Publication of Fractals and Scaling in Finance [19]

1998

Foreign member, Norwegian Academy of Sciences and Letters;

C. McMullen awarded the Fields Medal, in part for his work on MLC;

D.Sc., Open University London, University of Business and Commerce Athens

1999

Sterling Professor of Mathematical Sciences at Yale; John Scott Award;

publication of Multifractals and 1/f Noise [20]; publication of

“A multifractal walk down Wall Street” [21]; D.Sc., University of St. Andrews

2000

Lewis Fry Richardson Award, European Geophysical Society

2001

Member, U.S. National Academy of Sciences;

publication of “Scaling in financial prices, I – IV”

2002

Sven Berggren Priset, Swedish Academy of Natural Sciences;

William Proctor Prize, Sigma Xi; Medaglia della Prezidenza della

Republica Italiana; publication of Gaussian Self-Affinity and Fractals [22]

and of Fractals, Graphics, and Mathematics Education [23];

D.Sc., Emory University

2003

Japan Prize for Science and Technology; Best Business Book of the Year

Award, Financial Times Deutschland, for The (Mis)Behavior of Markets [25]

2004

Member, American Philosophical Society; publication of Fractals and

Chaos. The Mandelbrot Set and Beyond [24], and (with R. Hudson

of The (Mis)Behavior of Markets [25]

2005

Sierpinski Prize, Polish Mathematical Society; Casimir Frank Natural

Sciences Award, Polish Institute of Arts and Sciences of America;

Battelle Fellow, Pacific Northwest Labs; D.CE., Politecnio, Torino

2006

Officer, National Legion of Honor, Paris; Einstein Public Lecture, AMS

Annual Meeting; Plenary Lecture, ICM; W. Werner awarded the Fields

Medal for proving (with G. Lawler and O. Schramm) the 4/3 conjecture;

Doctor of Medicine and Surgery, University degli Studi, Bari, Puglia

2010

D.Sc., Johns Hopkins University; TED lecture; S. Smirnov awarded the

Fields Medal for work on percolation theory and SLE related to the

4/3 conjecture.

Died in Cambridge, MA, 14 October

References

[1] M. F. Barnsley and S. G. Demko, Iterated function

systems and the global construction of fractals, Proc.

Roy. Soc. London Ser. A 399 (1985), 243–275.

[2] Michael F. Barnsley, Superfractals: Patterns of

Nature, Cambridge University Press, 2006.

[3] Michael

F.

Barnsley,

Michael

Frame

(eds.),

Glimpses of Benoît B. Mandelbrot (1924–2010), AMS

Notices 59 (2012), 1056–1063.

[4] M. V. Berry, Benefiting from fractals (a tribute to

Benoît Mandelbrot), Proc. Symp. Pure Math., vol. 72,

Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 31–33.

[5] http://www.phy.bris.ac.uk/berry mv/

publications.html.

[6] John Brockman, A theory of roughness: a talk with

Benoît Mandelbrot (12.19.04), Edge, http://edge.

org/conversation/a-theory-of-roughness

[7] J. E. Hutchinson, Fractals and self-similarity,

Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), 713–747.

[8] J. Kigami, Harmonic calculus on p.c.f. self-similar

sets, Trans. Amer. Math. Soc. 335 (1993), 721–755.

1220

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

[9] M. L. Lapidus, Towards a noncommutative fractal ge-

ometry? Laplacians and volume measures on fractals,

Contemporary Mathematics, vol. 208, 1997, Amer.

Math. Soc., Providence, RI, pp. 211–252.

[10] G. Lawler, O. Schramm, W. Werner, The dimension

of the planar Brownian frontier is 4/3, Math. Res. Lett.

8 (2001), 401–411.

[11] B. Mandelbrot, The variation of certain speculative

prices, J. Business (Chicago) 36 (1963), 394–419.

[12]

, The stable Paretian income distribution when

the apparent exponent is near two, International

Economic Review 4 (1963), 111–115.

[13]

, How long is the coastline of Great Britain?

Science (New Series) 156 (1967), 636–638.

[14]

, Intermittent turbulence in self-similar cas-

cades: Divergences of higher moments and dimen-

sion of the carrier, J. Fluid Mechanics 62 (1974),

331–358.

[15]

, Les Objets

Fractals:

Forme, Hasard

et

Dimension, Flammarion, Paris, 1975.

[16]

, Form, Chance and Dimension, W. H. Freeman,

San Francisco, CA, 1977.

[17]

, Fractal aspects of the iteration z − λz(1 − z)

for complex λ and z, Ann. New York Acad. Sci. 357

(1980), 249–259.

[18]

, The Fractal Geometry of Nature, W. H.

Freeman, San Francisco, CA, 1983.

[19]

, Fractals and Scaling in Finance, Springer-

Verlag, New York, 1997.

[20]

, Multifractals and 1/f Noise, Springer-Verlag,

New York, 1999.

[21]

, A multifractal walk down Wall Street,

Scientific American, Feb. 1999, 70–73.

[22]

, Gaussian Self-Affinity and Fractals, Springer-

Verlag, New York, 2002.

[23]

, Fractals, Graphics, and Mathematics Educa-

tion, MAA, Washington, DC, 2002.

[24]

, Fractals and Chaos: The Mandelbrot Set and

Beyond, Springer-Verlag, New York, 2004.

[25]

, The (Mis)Behavior of Markets, with R. Hudson,

Basic Books, New York, 2003.

[26]

, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick,

Pantheon, 2012.

[27] D. Mumford, C. Series, D. Wright, Indra’s Pearls,

The Vision of Felix Klein, Oxford University Press,

2002.

[28] James B. Bassingthwaighte, Larry S. Liebovitch,

Bruce J. West

, Fractal Physiology, Oxford University

Press, New York, 1994.

[29] B. J. West, M. Bologna, P. Grigolini, Physics of

Fractal Operators, Springer-Verlag, New York, 2003.

Make a calculated difference 

with what you know.

KNOWING

MATTERS

Tackle the coolest problems ever.

You already know that mathematicians like complex challenges. 

But here’s something you may not know. 

The National Security Agency is the nation’s largest employer of 

mathematicians. In the beautiful, complex world of mathematics, 

we identify structure within the chaotic and patterns among 

the arbitrary.

Work with the finest minds, on the most challenging problems, 

using the world’s most advanced technology.

Excellent Career Opportunities for Experts in the Following:

Number Theory

Probability Theory

Group Theory

Finite Field Theory

Combinatorics

Linear Algebra

>>  Plus

 other opportunities

W H E R E   I N T E L L I G E N C E   G O E S   T O   W O R K

®

U.S. citizenship is required. NSA is an Equal Opportunity Employer.

M AT H E M AT I C S

 

 

AT   T H E  

N

AT I O N A L  

S

E C U R I T Y  

A

G E N C Y

Search NSA to Download 

Search NSACareers

October

2012

Notices of the AMS

1221