1. Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari Murakkab funksiyaning differensiallanuvchanligi. Murakkab funksiyaning xosilasi

Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz darslarida funksiya va uning uzluksizligi, bir o’zgaruvchili funksiyalarni hosilasi va uning differensiali haqida ma’lumotlarni o’rganishdan iborat.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida matematik analizni o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Uzluksiz funksiyalar
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2. Bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarni yoritib berish;
3. Kurs ishi mavzusini o’rgatish metodikasini bilish;
4. O’quvchilarda uzluksiz funksiyalar bo’yicha ko’nikma shakllantirish;

Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi


1⁰. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Faraz qilaylik, funksiya ochiq tо‘plamning har bir nuqtasida

xususiy hosilalarga ega bо‘lsin. Bu xususiy hosilalar о‘zgaruvchilarning funksiyasi bо‘lib, ular ham xususiy hosilalarga ega bо‘lishi mumkin:

.
Bu xususiy hosilalar berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari deyiladi va

kabi belgilanadi:

.
Agar bо‘lsa,

ikkinchi tartibli xususiy hosila aralash hosila deyiladi.

Agar bо‘lsa, ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

quyidagicha

yoziladi.
funksiyaning uchinchi, tо‘rtinchi va h.k. tartibdagi xususiy hosilalari xuddi yuqoridagiga о‘xshash ta’rif-lanadi. Umuman, funksiyaning о‘zgaruvchilari bо‘yicha -tartibli xususiy hosilasi berilgan funksiyaning – tartibli xususiy hosilasi

ning о‘zgaruvchi bо‘yicha xususiy hosilasi sifatida ta’riflanadi:

.
Bu holda ham lar bir-biriga teng bо‘lmaganda

aralash hosila deyiladi.

Agar bо‘lsa, – tartibli xususiy hosila-lar quyidagicha

yoziladi. Ushbu

aralash hosilalar funksiyaning turli о‘zgaruvchilari bо‘yicha differensiallash tartibi bilan farq qiladi:

da funksiyaning avval о‘zgaruvchisi bо‘yicha, sо‘ng о‘zgaruvchisi bо‘yicha xususiy hosilasi hisoblangan bо‘lsa,

da esa avval о‘zgaruvchisi bо‘yicha, sо‘ng о‘zgaruvchisi bо‘yicha xususiy hosilasi hisoblangan. Ular bir-biriga teng ham bо‘lishi mumkin, teng bо‘lmasdan qolishi ham mumkin (misollar keyingi punktda keltiriladi).
Aralash hisilalarning tengligini quyidagi teorema ifodalaydi.
1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtada marta differensiallanuvchi bо‘lsin. U holda nuqtada funksiyaning ixtiyoriy -tartibli aralash hosilalarning qiymati о‘zgaruvchilar bо‘yicha qanday tartibda differen-siallanishiga bog‘liq bо‘lmaydi.
◄Bu teoremaning isboti, keyingi punktda ikki о‘zgaruvchili funksiya uchun keltiriladigan teorema isboti kabi bо‘ladi.►