1. Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari Murakkab funksiyaning differensiallanuvchanligi. Murakkab funksiyaning xosilasi

1-eslatma. (1) va (3) formulalarni solishtirib, ikkinchi tartibli differensialarda differensial shaklning invariantligi xossasi о‘rinli emasligii kо‘ramiz.
2-eslatma. Agar funksiya argumentlari larning har biri о‘zgaruvchilarning chiziqli funksiyasi bо‘lsa, u holda funksiyaning ikkinchi tartibli (umuman, -tartibli) differensiali differensial shaklning invariantlik xossasiga ega bо‘ladi.

◄ Aytaylik,

bо‘lsin. U holda, ravshanki,

bо‘lib,

bо‘ladi. (3) formuladan foydalanib topamiz:
.
Bu esa ning (1) formula kо‘rinishiga ega ekanligini bildiradi.►
4⁰. Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning Teylor formulasi. Aytaylik, funksiya ochiq tо‘plamda berilgan bо‘lib, bо‘lsin, bunda va . Ravshanki,

nuqtalarni birlashtiruvchi tо‘g‘ri chiziq kesmasi

shu ga tegishli bо‘ladi.
Faraz qilaylik, funksiya tо‘plamda marta differensialllanuvchi bо‘lsin. Bu funksiyani tо‘plamda qarasak, segmentda aniqlangan ushbu

funksiyaga ega bо‘lamiz. funksiya da hosilaga ega bо‘lib,

bо‘ladi, bunda funksiyaning barcha xususiy hosilalari
(4)
nuqtada hisoblangan.
Umuman, hosil qilingan funksiya -tartibli hosilalarga ega va u

ga teng, bundagi barcha xususiy hosilalar (4) nuqtada hisoblangan. Bu munosabatning tо‘g‘riligi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi.

Shunday qilib, funksiya hosilalarga ega bо‘ladi. Teylor formulasiga kо‘ra (qaralsin, 24-ma’ruza) nuqtada
(5)
bо‘ladi, bunda . Bu tenglikda
deyilsa, unda

bо‘lishi kelib chiqadi.

Ayni paytda,
(6)

(bunda funksiyaning barcha xususiy hosilalari nuqtada hisoblangan) bо‘lishini e’tiborga olsak, u holda (5) va (6) tengliklardan ushbu

tenglikka kelamiz. Bu kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning Lagranj kо‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi deyiladi.

5⁰. Xususiy hollar. Aralash hosilaning tengligi haqida teorema. bо‘lsin. bu holda funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensial-lariga kelamiz. Ular 23-ma’ruzada batafsil bayon etilgan.
bо‘lganda ikki о‘zgaruvchili funksiya bо‘lib. Uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari (ular 4 ta bо‘ladi) quyidagicha bо‘ladi:

.
1-misol. Ushbu

funksiyaning ikiinchi tartibli xususiy hosilalari topilsin.
◄Ravshaki,

bо‘ladi.

Endi ta’rifdan foydalanib berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

►
2-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi aralash hosilalari topilsin.
Aytaylik, bо‘lsin. Bu holda

bо‘ladi.

Aytaylik, bо‘lsin. Bu holda funksiyaning hosilalarini ta’rifgga kо‘ra hisoblaymiz:

►
Yuqorida keltirilgan misollardan kо‘rinadiki, funksiyaning

aralash hosilalari bir-biriga teng ham bо‘lishi mumkin, teng bо‘lmasdan qolishi ham mumkin ekan.