Amaliy matematika va informatika

2.Differensial tenglamalar yordamida yechiladigan biologik masalalar
Tirik organizmlar bir vaqtning o’zida barcha tafsilotlarini ko’rib chiqish uchun juda murakkab tizimdir; shuning uchun tadqiqotchi har doim muayyan muammoni hal qilish uchun mos keladigan soddalashtirilgan nuqtai nazarni tanlaydi. Haqiqiy biotizimlarni soddalashtirish modellashtirish usulining asosi hisoblanadi.
Odatda, biologiyada ishlatiladigan modellar uchta toifaga bo’linadi:
Umumiy qonuniyatlarni, patologik jarayonlarni, turli dori vositalarining ta’sirini va boshqalarni o’rganish uchun foydalaniladigan ildeic ob’ekt modellari. Ushbu modellar sinfiga, masalan, laboratoriya hayvonlari, ajratilgan organlar kiradi. Hujayra madaniyati, organellalar suspenziyalari va boshqalar.
Jismoniy (analog) modellar, ya’ni modellashtirilayotgan ob’ekt bilan bir xil xatti-harakatlarga ega bo’lgan jismoniy modellar. Masalan, suyakda turli yuklar ostida yuzaga keladigan deformatsiyalar maxsus tayyorlangan suyak modelida o’rganilishi mumkin. Qonning katta tomirlar orqali harakatlanishi rezistorlar, kondansatörler va induktiv bobinlar zanjiri bilan modellashtirilgan.
Matematik modellar – o’rganilayotgan ob’ekt, hodisa, jarayonning ma’lum xususiyatlarini tavsiflovchi matematik ifodalar – formulalar, funktsiyalar, tenglamalar va boshqalar tizimi. Matematik modelni yaratishda modellashtirish ob’ektini eksperimental o’rganish jarayonida aniqlangan fizik naqshlardan foydalaniladi. Masalan, qon aylanishining matematik modeli gidrodinamika qonunlariga asoslanadi.
Matematik modellashtirish tadqiqot usuli sifatida bir qator inkor etilmaydigan afzalliklarga ega.
Birinchidan, matematik ilde miqdoriy qiymatlarni taqdim etish usulining o’zi aniq va tejamkor. Ikkinchidan, eksperimental ma’lumotlar asosida tuzilgan gipotezalarni tekshirish ushbu gipoteza asosida yaratilgan matematik modelni sinab ko’rish orqali amalga oshirilishi mumkin. Va nihoyat, matematik model eksperimentda yoki klinikada yaratish qiyin bo’lgan bunday tizimlarning xatti-harakatlarini baholashga, o’rganilayotgan tizimning ishlashini yoki har qanday tizimning ishlashini o’rganishga imkon beradi.
Zeeman modeli
Biz kichik matematik tajriba o'tkazishdan boshlaymiz. Faraz qilaylik, x mushak tolasi uzunligi bo’lsin, deylik, muvozanat holatiga mos keladigan holat x = 0. b elektrokimyoviy to’lqinni boshqaradigan energiya o’zgaruvchisi bo’lsin. Biz muvozanat holati sifatida x = 0 ga ega bo’lgan va kichik vaqtlarda tez pasayuvchi yechimga ega bo’lgan differentsial tenglamani qidiramiz. Ushbu xususiyatlarni ko’rsatadigan mos tenglama:

(2.1)

b
(2.2)
u yerda _{ } kichik musbat parametr. Agar dx/dt, tolaning tezligi nolga teng bo’lsa, biz muvozanat holatiga ega bo'lamiz x = 0. Bundan tashqari, biz (2.1) umumiy yechimga ega ekanligini bilamiz:

Vaqt o'tishi bilan tez sur'atlar bilan qisqaradi. Shunday qilib (2.1) mushak tolalarining sistolaga qisqarishiga olib keladigan dastlabki xatti-harakatlarini ifodalash uchun yaxshi variant bo'lib hisoblanadi. Endi elektrokimyoviy to'lqinga o'tadigan bo'lsak, bu to'lqinning atriumlar bo'ylab nisbatan sekin tarqalishini ko'rsatish uchun bizga b topish kerak. Buning uchun:

(2.3)


Bu yerda b = 0 muvozanat holati va (2.3) tenglama quyidagi yechimga ega:
b = B exp(−t), (2.4)
bu (2.2) bilan solishtirganda nisbatan sekin parchalanish davrini ifodalaydi.
Istalgan xususiyatlarni o’zida mujassam etgan model birlashtirilgan chiziqli bo’lmagan va birinchi tartibli sistemadir.

(2.5)

Начало формы
Bu yerda x mushak tolasining uzunligini, a kuchlanishni, b kimyoviy reaksiyani boshqaradigan kuchi va x_a yurak diastolasida bo’lgan odatdagi tola uzunligini ifodalaydi. (2.5) model E.C.Zeeman tomonidan yaratilgan.