Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
192
 ((50,1). egyenlet).
Az a
1
, a
2
, a
3
 amplitúdók és a δ
1
, δ
 2
, δ
 3
 kezdeti fázisok már valósak. Az elektromos térerősség komponensei tehát:
 ((50,2). egyenlet)
Az E
x
, E
y
, E
z
 térerősség-komponensek valós részét jelöljük rendre 
-val.
 ((50,3). egyenlet).
A 
 koordináták tehát a Re(
E) vektor végpontjának koordinátái:
 ((50,4). egyenlet)
ahol
.
Az  (50,4)  egyenletrendszer  a  Re(
E)  vektor  végpontja  által  leírt  görbe  paraméteres  egyenletrendszere  a  φ  paraméterrel.  Alakítsuk  át  ezt  az
egyenletrendszert a következőképpen :
 ((50,4a). egyenlet),
 ((50,4b). egyenlet),
 ((50,4c). egyenlet).

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
193
Szorozzuk meg az (50,4a) egyenletet sin (δ
2
 – δ
3
)-mal, (50,4b)-t sin (δ
3
 – δ
1
)-gyel, (50,4c)-t sin (δ
1
 – δ
2
)-vel, majd adjuk össze az így kapott három
egyenletet. Eredményül a következő egyenletet kapjuk:
 ((50,5). egyenlet).
A geometriából ismeretes, hogy (50,5) egy síknak az egyenlete. A Re(
E) vektor – tehát az elektromos térerősség – végpontja síkgörbét ír le. Ez a
síkgörbe különböző alakú lehet. A görbe alakja határozza meg a hullám polarizációját.
Válasszunk olyan koordináta-rendszert, amelynek (x, y) síkja egybeesik a fenti görbe által meghatározott síkkal. Az így választott (x, y, z) koordináta-
rendszerben  az  elektromos  térerősségvektor  végpontja  az  (x,  y)  síkban  mozog.  Az  általa  leírt  görbe  paraméteres  egyenletrendszere  ebben  a
koordináta-rendszerben:
3
 ((50,6). egyenlet)
Határozzuk meg az (50,6) paraméteres egyenletrendszerrel leírt görbe alakját. E célból kiküszöböljük a φ paramétert. (50,6) első egyenletéből kapjuk:
.
Ezt behelyettesítjük (50,6) második egyenletébe:
 ((50,7). egyenlet)
Vezessük be a
jelölést, és rendezzük át (50,7)-et a következőképpen:
3
 Megjegyezzük, hogy itt ugyanazokat a jelöléseket használtuk, mint (50,4)-ben, de a megfelelő állandók nem egyeznek meg az ottanival. A későbbiekben ez az azonos jelölés nem okoz semmi zavart.

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
194
.
Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve és átrendezve, adódik:
 ((50,8). egyenlet).
Mivel 
, 
, az (50,8) által leírt másodrendű görbe nem lehet sem hiperbola, sem parabola, mivel ezeknek van végtelen távoli pontjuk. Az
elektromos térerősségvektor végpontja általában ellipszist ír le, amely 
 fáziskülönbségtől függően speciális esetekben körré vagy egyenessé
fajulhat.
Az  (50,2)  elektromágneses  síkhullám  tehát  általában  elliptikusan  polarizált.  Az  (50,8)  ellipszisegyenlet  nem  kanonikus  alakú,  ezért  az  ellipszis
tengelyei  általában  nem  esnek  egybe  az  x,  y  koordinátatengelyekkel.  Az  ellipszis  féltengelyeinek  nagyságát,  valamint  azok  irányát  elemi  úton
kifejezhetnénk az a
1
, a
2
, valamint a δ állandókkal. A féltengelyek nagyságát a 
 mennyiség két szélső értéke adja meg.
Ha a δ fáziskülönbség 
, vagy 
, ahol m = ±1, ±2, ... egész szám, akkor sin δ = ±1, cos δ = 0, és az (50,8) egyenlet a
 ((50,9). egyenlet)
alakot veszi fel. Ebben az esetben a
1
 és a
2
 megegyeznek az ellipszis féltengelyeivel, és azok iránya a koordinátatengelyekkel egyirányú.
Az a
1
 = a
2
 = a, 
, vagy 
 – ahol m egész szám – speciális esetben az ellipszis körré fajul, amelynek egyenlete:
 ((50,10). egyenlet).
Az ilyen hullámot cirkulárisan polarizáltnak nevezzük.
Az  elektromos  térerősségvektor  végpontja  a  φ  fázis  növekedésekor  végigfut  a  fenti  síkgörbén.  A  térerősségvektor  forgásának  iránya  függ  a  δ
fáziskülönbségtől.  Ha  a  forgás  –  a  hullámterjedés  irányából  szemlélve  –  jobbra  történik,  akkor  jobbra,  ha  balra,  akkor  balra  poláros  hullámról
beszélünk.  Fogalmazzuk  meg  ezt  a  szabályt  kvantitatíven.  Jelöljük  az 
E  vektor  valós  részét  -vel: 
.  Az 
  vektor  az    vektor

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
195
változásának a sebességét jelenti. Az előző pontban láttuk, hogy   az 
n-re merőleges síkban van. Ugyanebben a síkban fekszik az E' vektor is.
Ennélfogva a fentiek alapján
poláros a hullám.
Az itt használt koordináta-rendszerben az 
n egységvektor a z tengely irányába mutat, n(0, 0, 1) ezért
 ((50,11). egyenlet).
(50,11)-ből következik, hogy balra poláros hullámnál sin δ < 0, jobbra polárosnál viszont sin δ > 0. A 
 (ahol 
) jelöléssel ezt
így is megfogalmazhatjuk:
0 < δ' < π esetén jobbra,
π < δ' < 2π esetén balra
poláros a hullám.
A jobbra cirkulárisan polározott hullámra 
, a balra cirkulárisan polárosra 
.
Ha a δ fáziskülönbség zérus vagy π-nek egész számú többszöröse (δ = 0, vagy δ = mπ, ahol 
), akkor 
, és az (50,8) egyenlet
egyenes egyenletévé fajul:
 ((50,12). egyenlet).
A  pozitív  előjel  páratlan  m-re,  a  negatív  előjel  páros  m-re  érvényes.  Ebben  az  esetben  a  hullámot  lineárisan  polarizáltnak  nevezzük.  Ekkor  az
elektromos térerősség végpontja egy rögzített egyenes mentén mozog.
A levezetéseket itt az elektromos térerősségre végeztük el. Természetesen ugyanezek igazak a mágneses térerősségre is. Vagyis a mágneses
térerősség  végpontja  is  ellipszisen  mozog  általában.  Az  előbbi  két  speciális  esetben  körön,  illetve  egy  rögzített  egyenesen.  A  korábbi
megállapodásnak megfelelően az 
n és a   vektor által meghatározott síkot nevezzük a polarizáció síkjának, a   irányát pedig a polarizáció irányának.

---