Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
205
 ((52,9). egyenlet);
 ((52,10). egyenlet).
Foglalkozzunk az elektromos térerősségre vonatkozó (52,9) egyenlettel. Ez a következő egyszerűbb alakba írható:
 ((52,11). egyenlet),
ahol a, b, c az időtől független mennyiségek. Differenciáljuk (52,11) mindkét oldalát az idő szerint:
 ((52,12). egyenlet).
Ezen egyenlet jobb oldalán levő mennyiség helyére írjuk be az (52,11)-ből adódó értéket. Átrendezéssel kapjuk:
 ((52,13). egyenlet).
Mivel az 
 és az 
 tényezők együtthatói állandók, ezért az (52,13) egyenlet lineáris összefüggést jelent az exponenciális függvények között,
amelynek azonosan ki kell elégülnie a határoló sík minden pontjában, minden t-re. Ez azonban csak akkor teljesül, ha az exponenciális függvények
kitevői megegyeznek, tehát
 ((52,14). egyenlet).
Ha az (52,12) bal oldalán levő mennyiség helyére az (52,11)-ből adódó értéket helyettesítjük, a következő egyenletet kapjuk:
.
Az első tag (52,14) alapján eltűnik, ezért az egyenlet t minden értékére csak akkor áll fenn, ha a második tag együtthatója is azonosan zérus, vagyis
 ((52,15). egyenlet).
Az (52,14) és az (52,15) összefüggések azt jelentik, hogy az elektromágneses hullámok visszaverődésekor és törésekor a hullám frekvenciája nem
változik meg:
 ((52,16). egyenlet).
Megmutatjuk továbbá, hogy a beeső, a visszavert és a megtört hullám 
k
0
, 
k
1
, 
k
2
 hullámszámvektorai egy síkban fekszenek. Ezt úgy mondjuk, hogy a
beeső, a visszavert és a megtört sugár egy síkban van. Az (52,9) határfeltételi egyenletben 
r az elválasztó felület valamely pontjának a helyzetvektorát

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
206
jelenti. Koordináta-rendszerünket válasszuk úgy, hogy annak origója egyezzen meg az elválasztó sík valamely pontjával. Ebben az esetben az (52,9)
egyenletben szereplő 
r vektor teljesen rajta van az elválasztó síkon. Az (52,9) egyenlet a következő alakban írható:
 ((52,17). egyenlet),
ahol az A, B, C mennyiségek 
r-től függetlenek. Képezzük az egyenlet mindkét oldalának gradiensét, majd szorozzuk végig r-rel skalárisan:
 ((52,18). egyenlet).
A jobb oldalon levő 
 mennyiség helyére írjuk be az (52,17) egyenletből adódó értéket:
 ((52,19). egyenlet).
Ez az összefüggés fennáll az elválasztó síkban fekvő minden 
r vektorra, ezért az (52,13) után követett gondolatmenet alapján adódik, hogy
 ((52,20). egyenlet).
Ha a 
 mennyiséget helyettesítjük az (52,17)-ből adódó értékével, akkor hasonló eljárással kapjuk:
 ((52,21). egyenlet).
Az (52,20) és az (52,21) összefüggések egybevetéséből látszik, hogy
 ((52,22). egyenlet).
Ebből viszont már következik, hogy a 
k
0
, 
k
1
, 
k
2
 hullámszámvektorok egy síkban fekszenek. Ugyanis az 
r vektor az elválasztó síkban fekvő tetszőleges
vektor, ezért úgy választható, hogy valamelyik hullámszámvektorra, pl. a 
k
0
-ra merőleges legyen. Ekkor viszont (52,22)-ből következik, hogy
 ((52,23). egyenlet),
ami azt jelenti, hogy a 
k
1
 és a 
k
2
 vektor is merőleges 
r-re, vagyis ugyanabban a síkban vannak, mint a k
0
. Ezzel megmutattuk, hogy a beeső, a
visszavert és a megtört sugár egy síkban van.
Most határozzuk meg a visszavert és a megtört sugár irányát a beesőéhez viszonyítva. A koordináta-rendszer kezdőpontját vegyük fel az elválasztó
sík azon pontjában, amelyben a beeső sugár a felületet metszi (58. ábra). Az (x, z) sík essen egybe azzal a síkkal, amelyen fekszik a 
k
0
, a 
k
1
 és a 
k
2
hullámszámvektor, a z tengely legyen merőleges az elválasztó felületre, az x tengely pedig legyen rajta az 58. ábrának megfelelő irányítással. Ekkor

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
207
,
,
.
58. ábra -
Ezeket a kifejezéseket (52,22)-be beírva, adódik:
 ((52,24). egyenlet).
A beeső, a visszavert és a megtört hullám terjedési sebességét jelöljük  -val,  -gyel és  -vel. Ezek a sebességek a k
0
, k
1
, k
2
 hullámszámokkal
a következő kapcsolatban vannak:
 ((52,25). egyenlet).
Mivel a beeső és a visszavert hullám ugyanabban a közegben terjed, ezért 
, tehát k
0
 = k
1
. Az (52,24) egyenlőség első részéből így következik,
hogy
cos α
0
 = cos α
1
, vagyis α
0
 = α
1
,

---

VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK.
ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK
208
ami az ábra alapján azt is jelenti, hogy
 ((52,26). egyenlet).
A  -t beesési szögnek,  -et visszaverődési szögnek nevezzük. Az (52,26) egyenlőség szavakkal kifejezve tehát azt jelenti, hogy a beesési szög
megegyezik a visszaverődési szöggel.
Az (52,24) egyenlőség két széléből (52,25) figyelembevételével adódik:
 ((52,27). egyenlet).
Az ábrából leolvasható, hogy 
 és 
, ezért (52,27) a következőképpen is írható:
 ((52,28). egyenlet).
A sebességek hányadosa (49,9) alapján kifejezhető a két közegre jellemző anyagi együtthatókkal:
.
A beesési szög sinusának és a törési szög sinusának hányadosa csupán a két érintkező közeg sajátságaitól függ. A 
 mennyiséget a második
közegnek az elsőre vonatkoztatott törésmutatójának nevezzük és n
12
-vel jelöljük. Eszerint
 ((52,29). egyenlet).
Az  (52,29)  összefüggést  nevezzük  Snellius–Descartes-törvénynek.  Megállapíthatjuk  tehát,  hogy  az  elektromos  és  a  mágneses  térerősségre
vonatkozó (52,9), illetve (52,10) határfeltételből egyszerűen következnek az elektromágneses hullámok visszaverődésének és törésének geometriai
törvényei, teljes megegyezésben a fényhullámokra vonatkozó megfelelő törvényekkel.
A határfeltételek részletesebb tanulmányozásával összefüggések nyerhetők a beeső, a visszavert és a megtört hullám amplitúdójának négyzete
között  is.  Ezek  az  összefüggések  megegyeznek  a  beeső,  visszavert  és  megtört  fényhullámok  intenzitásviszonyaira  vonatkozó  ún.  Fresnel-féle

---