81
показанием примера в следующем виде.
Известно , что в элементарной математике понятие рациональное число вводится
следующим образом, [ 6, стр. 340]: с измерением отрезков вводится понятие дроби.
Полученные дроби при измерении с различными единиц масштабов, одного и того же
отрезка называется равными дробями.
Теорема [ 6, стр 339]. Для того чтобы дроби
n
m
и
q
p
выражали длину одного и того
же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
np
mq
. На основе
этой теоремы равенство дробей определяется в более строгом виде.
Определение. Две дроби
n
m
и
q
p
называются равными, при
np
mq
.
Доказывается, что отношение равенство дробей является эквивалентности на
множестве дробей. Поэтому оно порождает на этом множестве классы эквивалентности.
Определение [ 6, стр 342]. Положительным рациональным числом называется класс
равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу есть запись ( представление)
этого числа.
После введение отрицательного числ, например в [7], как в [ 6, стр 342 - 344]
определяются отношение равенств рациональных чисел и операции сложение, вычитание,
умножение и деление соответствующими образами.
Определение. Если рациональное число
a
представлено дробью
n
m
,
а рациональное число
b
– другой дробью
q
p
, то
b
a
тогда и только тогда, когда
np
mq
.
Определение. Если рациональное число
a
представлено дробью
n
m
,
а рациональное число
b
–дробью
n
p
, то их суммой называется число
b
a
,
которое представляется дробью
n
p
m
.
Можно доказать что, при замене дробей
n
m
и
n
p
представляющих числа
a
и
b
,
равными им дробьями, дробь
n
p
m
заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма
рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей. Это означает, что
отношение равенство рациональных чисел является конгруэнцией относительно операции
( сложение) рациональных чисел. Соответствующими образами определяются оперпции
( вычитание),
( умножение )
и,
:
( деление) в множестве рациональных чисел - то есть в
фактор – множестве множества дробей и доказывается что, отношение равенство в
множестве рациональных чисел является конгруенцией относительно операциям вычитание,
умножение и деление.
Пусть
D
- множество всех дробей, а
R
отношение равенство в
D
.
;
,
,
,
- множество арифметических операции. Тогда множество всех рациональных
чисел
R
D
Q
/
.
Обозначим с
- всех операций определяемых в
Q
, т.е
:
,
,
,
. Для любых
элементов
D
d
c
b
a
,
,
,
из aRc и bRd , другими слвами из
c
a
и
d
b
получается, что
d
c
R
b
a
, где
одно из любых операций принадлежащая в
. В множество
82
R
D
Q
/
определим операции следующим образом
,
/
/
/
R
b
a
R
b
R
a
,
/
/
/
R
b
a
R
b
R
a
,
/
/
/
R
b
a
R
b
R
a
,
/
:
/
:
/
R
b
a
R
b
R
a
где,
R
a / - обозначает рациональное число определяющие дробь а, т.е. класс дробей равными
дробыю
a
.
Алгебраическая структура
:
,
,
,
,
/ R
D
Q
является фактор – алгеброй. В этой
алгебре как обозначения операции сложение, вычитание, умножение и деление
употребляется соответственно обозначений
:
,
,
,
так в множестве
D
.
В связи частных случаев фактор – алгебры сделаем следующое замечание. В [1,
стр.205] показаны примеры на кольцо в таком виде.
« Пусть
Q
- множество всех рациональных чисел и
Q
b
a
b
a
Q
,
|
2
2
Алгебра
1
,
,
,
,
2
2
Q
Q
типа
0
,
2
,
1
,
2
, где
и
суть обычных операций сложения и умножения действительных
чисел и – унарная операция перехода от данного числа к противоположному, является
коммутативным кольцом ».
Нам кажется, что целесообразно здесь вместо
Q
- множество всех рацио-нальных
чисел выбрать
'
D
- множество всех несократимых дробей. Потому, что
Q
- фактически
фактор – множества, тогда при
Q
a
, тогда
a
есть класс. В это время должно определятся
2
a
. С другой стороны не заданы и не обоснованы понятие фактор – кольца. А точнее
говоря
1
,
,
,
,
2
2
Q
Q
есть фактор кольца.
В примерах следующими типами обоснование ведется с помощью определением
соответствующим алгебраическим структурам и элементарным соображениям и свойствам
математических понятий.
1.
Пусть
Q
- множество всех рациональных чисел с обычным сложением и унарной
операцией , - операций перехода от числа
a
к противо-положному числу
a
.
Алгебра
,
,
Q
Q
типа (2,1) является группой.
2.
Пусть
Q
- множество всех рациональных чисел с обычным сложением и
умножением и унарной операцией -, операции перехода от числа
a
к
противоположному числу
a
. Алгебра
1
,
,
,
,
Q
Q
типа (2,1,2,0) является
кольцой.
После изучение важные случаи алгебраического структура как группы и
кольца, преподавание кольца целых чисел и сравнений открывает пути для изложении
частных случаев фактор – алгебры, как фактор – группов, фактор кольца, а также прочного
усвоение знаний об конгруэнции и фактор – алгебры.
При изучении сравнений введение фактор - групп и фактор – кольцо может
изложится следующим образом, [1, гл.12].
Пусть
Z
- кольцо целых чисел,
m
фиксированное целое число и mZ - множество всех
целых чисел, кратных
m
. Дается определение сравнимости по модулю
m
. Два целых числа
a
и
b называют сравнимыми по модулю
m
, если
m
делит на
b
a
.
Если
a
сравнимо с
b по модулю
m
, то это записывается так
m
b
a
mod
Показывается, что отношение сравнимости по модулю
m
является отно-
шением эквивалентности. Следовательно, отношение сравнимости индуцирует разбиение