Misollar :
1.
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
X
bo‘lsin. U xolda
1
2
1
!
1
1
2
1
,
,...,
,
,
.
.
x
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n
n
n
n
n
T
19
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
1
1
0
2
1
x
x
x
X
X
x
x
x
X
n
n
n
2.
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
bo‘lsin, u xolda
,
,
11
21
31
12
22
32
13
23
33
14
24
34
44
24
14
33
23
13
32
22
12
31
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
T
,
,
,
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
0
14
13
12
11
24
23
22
21
34
33
32
31
31
32
33
34
21
22
23
24
11
12
13
14
!
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Bevosita tekshirib quyidagi xossalarni o‘rinli ekanligiga ishonch xosil
qilish mumkin.
1.
Agar A va V
n
m
o‘lchovli, to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsalar
bo‘lsa, u xolda
0
0
0
!
!
!
T
T
T
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
,
B
A
)
B
A
(
2.
Agar A –
,
n
m
o‘lchovli, to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsa bo‘lib,
0
xaqiqiy son bo‘lsa, u xolda
.
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
0
0
!
!
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
T
3.
Agar A –
,
n
m
o‘lchovli, to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsa bo‘lsa, u
xolda
.
A
)
A
(
,
A
)
A
(
,
A
)
A
(
,
A
)
A
(
,
A
)
A
(
0
0
!
!
T
T
4.
Agar A
n
m
, V
m
n
o‘lchovli to‘g‘ri burchakli matritsalar
bo‘lsa, u xolda
0
0
0
T
T
T
A
B
)
AB
(
,
A
B
)
AB
(
,
A
B
)
AB
(
5.
Agar A n - tartibli kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda
(𝐴
𝑇
)
⏊
= (𝐴
⏊
)
𝑇
= 𝐴
⁰
,
(𝐴
!
)
¯
= (𝐴
¯
)
!
= 𝐴
⁰
,
(𝐴
⁰
)
!
= (𝐴
!
)
⁰
= 𝐴
¯
,
20
(𝐴
⁰
)
𝑇
= (𝐴
𝑇
)
⁰
= 𝐴
⏊
,
(𝐴
⁰
)
⏊
= (𝐴
⏊
)
⁰
= 𝐴
𝑇
,
(𝐴
⁰
)
¯
= (𝐴
¯
)
⁰
= 𝐴
!
6.
Agar A –n tartibli kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda
1
0
T
1
0
T
T
T
1
0
T
T
1
0
)
A
(
)
A
A
(
)
A
(
)
A
A
(
)
A
A
(
)
A
(
)
A
A
(
)
A
(
A
7.
Agar A maxsusmas kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda
1
0
0
1
1
1
1
!
!
1
1
1
1
1
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
T
8.
Agar A n –tartibli kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda
,
)
1
(
,
!
0
A
A
A
A
A
A
A
T
bu yerda
– A matritsadan
!
А
yoki
А
matritsalarni xosil qilish uchun A
matritsaning satr yoki ustunlarini almashtirishlar soni.
Bu tengliklarning to‘g‘riligi ta’rif 1.15 va determinantning xossalaridan
kelib chiqadi.
9.
Agar A n –tartibli kvadrat matritsa, E n-tartibli birlik matritsa va
sonli parametr bo‘lsa, u xolda
E
A
E
A
E
A
E
A
T
0
Bu tengliklarning to‘g‘riligi 1.,2.,7. xossalar va
0
E
E
E
E
T
ekanligidan kelib chiqadi.
10. Agar
Sp
(A) – A matritsaning izi bo‘lsa, u xolda
),
(
)
(
)
(
)
(
0
A
Sp
A
Sp
A
Sp
A
Sp
T
11. Agar
)
(
A
rang
-A matritsaning rangi bo‘lsa, u xolda
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
!
A
rang
A
rang
A
rang
A
rang
A
rang
A
rang
T
12. A kvadrat matritsa bo‘lib,
n
i
i
i
T
i
i
i
i
T
i
i
,...,
2
,
1
)
,
,
,
(
,
,
,
0
0
lar
mos ravishda
0
,
,
,
A
A
A
A
T
matritsalarning bosh minorlari (ularning mos
to‘ldiruvchi minorlari) bo‘lsin. U xolda quyidagi tengliklar o‘rinli:
,
1
,...,
2
,
1
,
,
1
,...,
2
,
1
,
0
0
0
0
n
i
A
A
n
i
i
n
i
n
n
i
n
i
(1.3)
A
A
n
i
A
A
n
i
n
n
i
n
i
T
T
n
n
T
i
i
,
1
,...,
2
,
1
,
,
,...,
2
,
1
,
(1.4)
Bu tengliklarning to‘g‘riligi ta’rif 1.15 , 7. xossa va determinantning
xossalaridan kelib chiqadi.
21
§ 3. Simmetrik matritsalar
A- n- tartibli kvadrat matritsa bo‘lsin, ya’ni
n
j
i
a
A
ij
,...,
2
,
1
,
),
(
Ta’rif 1.16.
A matritsa simmetrik deyiladi, agarda uning xar bir elementi
uchun shunday element mavjud bo‘lib, bu elementlar juftliklari biror nuqta yoki
to‘g‘ri chiziqqa nisbatan o‘zaro simmetrik bo‘lsa. Bu nuqta yoki to‘g‘ri chiziqda
yotuvchi elementlar o‘z o‘ziga simmetrik deyiladi.
Simmetrik kvadrat matritsaning barcha ko‘rinishlarini aniqlash uchun
quyidagicha belgilashlar kiritamiz. A- n- tartibli kvadrat matritsaga qandaydir
kvadrat mos keladi.
1.
Kvadratning chap (o‘ng) diagonalini A matritsaning bosh (bosh
bo‘lmagan) diagonali deb ataymiz,
2.
Kvadratning vertikal (gorizontal) simmetriya o‘qini A matritsaning
vertikal (gorizontal) o‘qi deb aytamiz.
3.
Kvadratning simmetriya markazini A matritsaning markazi deb
aytamiz.
Ta’rif 1.17.
A- n- tartibli kvadrat matritsa
1)
bosh diagonalga nisbatan simmetrik matritsa deyiladi, agarda
,
A
A
T
ya’ni
n
j
i
a
a
ji
ij
,...,
2
,
1
,
,
bo‘lsa,
2)
bosh bo‘lmagan diagonalga nisbatan simmetrik matritsa
deyiladi, agarda
,
A
A
ya’ni
n
j
i
a
a
i
n
j
n
ij
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1
bo‘lsa,
3)
vertikal o‘qqa nisbatan simmetrik matritsa deyiladi, agarda
,
!
A
A
ya’ni
n
j
i
a
a
j
n
i
ij
,...,
2
,
1
,
,
1
,
bo‘lsa,
4)
gorizontal o‘qqa nisbatan simmetrik matritsa deyiladi, agarda
,
A
A
ya’ni
n
j
i
a
a
j
i
n
ij
,...,
2
,
1
,
,
,
1
bo‘lsa,
5)
matritsa markaziga nisbatan simmetrik matritsa deyiladi,
agarda
,
0
A
A
ya’ni
n
j
i
a
a
j
n
i
n
ij
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1
bo‘lsa,
Shuni aytib o‘tamizki, bosh va bosh bo‘lmagan diagonallarda A
matritsaning elementlari mavjud, vertikal va gorizontal o‘qlarda esa n- juft
bo‘lganda A matritsaning elementlari mavjud bo‘lmaydi, n- toq bo‘lganda
22
mavjud bo‘ladi, matritsa markazida n- juft bo‘lganda matritsa elementi mavjud
emas, n- toq bo‘lganda
2
1
,
2
1
n
n
a
element matritsa markazida yotadi.
E birlik matritsa bosh va bosh bo‘lmagan diagonallar, xamda matritsa
markaziga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Ta’rif 1.18.
n
R
fazodagi n ta erkin qism sistemalardan tashkil topgan
YMMS
1)
erkin qism sistemalarga nisbatan simmetrik deyiladi, agarda uning
mos bog‘lanishlari va teskari bog‘lanishlari bir xil bo‘lsa,
2)
o‘zaro muvozanatlashuvchi erkin qism sistemalar o‘rtasidagi
bog‘lanishlar va teskari bog‘lanishlarga nisbatan simmetrik deyiladi, agarda
muvozanatlashuvchi erkin qism sistemalar juftliklari o‘zaro va o‘zaro
muvozanatlashuvchi erkin qism sistemalar o‘rtasidagi bog‘lanishlardan boshqa
bog‘lanishlar o‘zlariga mos teskari bog‘lanishlar bilan bir xil bo‘lsa.
3)
YMMS
markaziga
nisbatan
simmetrik
deyiladi,
agarda
muvozanatlashuvchi erkin qism sistemalar juftliklari o‘zaro va barcha
bog‘lanishlar o‘zlariga mos teskari bog‘lanishlar bilan bir xil bo‘lsa.
Ta’rif 1.17 dan simmetrik matritsalarning quyidagi xossalari kelib
chiqadi.
1. Bosh va bosh bo‘lmagan diagonallariga nisbatan simmetrik bo‘lgan
matritsalar shu matritsa markaziga nisbatan xam simmetrik bo‘ladi.
2. Vertikal va gorizantal o‘qlarga nisbatan simmetrik bo‘lgan
matritsalar shu matritsa markaziga nisbatan xam simmetrik bo‘ladi.
3. Vertikal (gorizontal) o‘qga nisbatan simmetrik bo‘lgan matritsalar
maxsus matritsalar bo‘ladi.
4. Ixtiyoriy A kvadrat matritsa uchun quyidagilar mos ravishda bosh
diagonalga, bosh bo‘lmagan diagonalga, vertikal o‘qga, gorizontal o‘qga va
matritsa markaziga nisbatan simmetrik matritsalar bo‘ladi.
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
0
5
4
!
3
2
1
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
T
23
5. Agar A kvadrat matritsa bosh (bosh bo‘lmagan) diagonalga,
vertikal (gorizontal) o‘qga, matritsa markaziga nisbatan simmetrik matritsa
bo‘lsa, u xolda
AT
T
A
i
A
i
,
,...),
2
,
1
(
lar xam mos ravishda bosh (bosh bo‘lmagan) diagonalga, vertikal
(gorizontal) o‘qga, matritsa markaziga nisbatan simmetrik matritsa bo‘ladi. Bu
yerda T - A matritsa bilan bir xil tartibli bo‘lgan maxsusmas kvadrat matritsa,
- xaqiqiy son, *- mos transponirlash belgisini bildiradi.
6.
Agar A maxsusmas kvadrat matritsa bosh (bosh bo‘lmagan)
diagonalga, matritsa markaziga nisbatan simmetrik bo‘lsa, u xolda
1
A
xam mos
ravishda bosh (bosh bo‘lmagan) diagonalga, matritsa markaziga nisbatan
simmetrik bo‘ladi.
7. Agar A va B kvadratik matritsalar o‘z markazlariga nisbatan
simmetrik matritsalar bo‘lsa, u xolda AB va BA matritsalar o‘z markazlariga
nisbatan simetrik matritsalar bo‘ladi.
8. Agar A n- tartibli kvadrat matritsa o‘z markaziga nisbatan simmetrik
bo‘lib,
n
i
i
,...,
2
,
1
,
bu matritsaning bosh minorlari,
i
- shu minorlarga mos
to‘ldiruvchi minorlar bo‘lsa, u xolda
1
,...,
2
,
1
,
n
i
i
n
i
(1.5)
9.
Agar A n- tartibli kvadrat matritsa o‘z markaziga nisbatan
simmetrik bo‘lsa, u xolda
0
,
1
,...,
2
,
1
,
0
A
n
i
n
i
(1.6)
shartlar A matritsaning musbat aniqlangan bo‘lishi uchun zarur va yetarli
shartlar bo‘ladi. A matritsaning manfiy aniqlangan bo‘lishi uchun (1.6) shartlar
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.
0
)
1
(
,
1
,...,
2
,
1
,
0
)
1
(
A
n
i
n
n
i
i
(1.7)
10.
Agar A n- tartibli kvadrat matritsa 1) bosh diagonalga, 2) bosh
bo‘lmagan diagonalga, 3) vertikal o‘qga, 4) gorizontal o‘qga, 5) matritsa
markaziga nisbatan simmetrik matritsa bo‘lsa, u xolda bu matritsani mos
24
ravishda quyidagicha blok matritsalar ko‘rinishida yozish mumkin:
1) n=2k da
,
2
1
1
1
A
B
B
A
A
T
n=2k+1 da
,
2
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1
A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
T
k
k
T
2) n=2k da
,
1
2
1
1
A
C
C
A
A
n=2k+1 da
,
1
2
1
1
1
,
1
2
1
1
1
A
a
C
a
a
a
C
a
A
A
T
T
k
k
T
3) n=2k da
,
2
2
1
1
A
A
A
A
A
n=2k+1 da
,
)
(
)
(
2
2
2
2
1
,
1
1
1
1
1
A
a
A
a
a
a
A
a
A
A
T
k
k
T
4) n=2k da
,
1
1
1
1
B
A
B
A
A
n=2k+1 da
,
1
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1
B
a
A
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
5) n=2k da
,
0
1
0
1
1
1
A
B
B
A
A
n=2k+1 da
,
)
(
0
1
0
2
0
1
0
1
1
,
1
1
1
2
1
A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
bu yerda barcha blok matritsalar k-tartibli
T
n
k
k
k
k
k
T
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
1
,
1
1
Ta’rif 1.19.
)
(
ij
a
A
n- tartibli kvadrat matritsa
1) bosh diagonalga nisbatan kososimmetrik (antisimmetrik)
deyiladi, agarda
,
A
A
T
ya’ni
,
,...,
2
,
1
,
,
n
j
i
a
a
ji
ij
bo‘lsa:
2)
bosh bo‘lmagan diagonalga nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda
,
A
A
ya’ni
,
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1
n
j
i
a
a
i
n
j
n
ij
bo‘lsa:
3) vertikal o‘qqa nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda
,
A
A
ya’ni
,
,...,
2
,
1
,
,
1
,
n
j
i
a
a
j
n
i
ij
bo‘lsa :
4)
gorizontal o‘qqa nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda
,
A
A
ya’ni
,
,...,
2
,
1
,
,
,
1
n
j
i
a
a
j
i
n
ij
bo‘lsa:
5)
matritsa markaziga nisbatan kososimmetrik deyiladi, agarda
,
0
A
A
ya’ni
,
,...,
2
,
1
,
,
1
,
1
n
j
i
a
a
j
n
i
n
ij
bo‘lsa.
Bu ta’rifdan quyidagilar kelib chiqadi:
25
1.
Xar qanday A kvadrat matritsa uchun quyidagilar mos ravishda bosh
diagonalga, bosh bo‘lmagan diagonalga, vertikal o‘qga, gorizontal o‘qqa,
matritsa markaziga nisbatan kososimmetrik matritsalar bo‘ladi
)
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
),
(
2
1
0
5
4
3
2
1
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
A
A
S
T
2.
Agar A kvadrat matritsa bo‘lsa, u xolda
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
1
i
S
S
A
i
A matritsani mos ravishda bosh diagonalga, bosh bo‘lmagan diagonalga,
vertikal o‘qga, gorizontal o‘qqa, matritsa markaziga nisbatan simmetrik va
kososimmetrik bo‘lgan matritsalar yig‘indisiga yoyilmasi bo‘ladi.
3. Agar A n- tartibli kvadrat matritsa 1) bosh diagonalga, 2) bosh
bo‘liagan diagonalga, 3) vertika o‘qga, 4) gorizontal o‘qqa, 5) matritsa
markaziga nisbatan kososimmetrik bo‘lsa, u xolda bu matritsani mos ravishda
quyidagicha blok matritsalarga ajratib yozish mumkin
1) n=2k da
,
2
1
1
1
A
B
B
A
A
T
n=2k+1 da
,
2
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1
A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
T
k
k
T
2) n=2k da
,
1
1
1
1
A
C
C
A
A
T
n=2k+1 da
,
1
2
1
1
1
,
1
2
1
1
1
A
a
C
a
а
a
C
a
A
A
T
T
k
k
T
3) n=2k da
,
2
2
1
1
A
A
A
A
A
n=2k+1 da
,
)
(
)
(
2
2
2
2
1
,
1
1
1
1
1
A
a
A
a
а
a
A
a
A
A
T
k
k
T
4) n=2k da
,
1
1
1
1
B
A
B
A
A
n=2k+1 da
,
1
2
1
2
1
,
1
1
1
1
1
B
a
A
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
5) n=2k da
,
0
1
0
1
1
1
A
B
B
A
A
n=2k+1 da
,
)
(
0
1
0
2
0
1
0
1
1
,
1
1
1
2
1
A
a
B
a
a
a
B
a
A
A
T
k
k
T
bu yerda barcha blok matritsalar k-tartibli
T
n
k
k
k
k
k
T
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
)
,...,
,
(
,
)
,...,
,
(
,
1
3
,
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
1
,
1
1
26
Ta’rif 1.20.
)
(
ij
a
A
n – tartibli kvadrat matritsa
1)
bosh diagonalga nisbatan ortoganal deyiladi, agarda
1
A
A
T
bo‘lsa,
2)
bosh bo‘lmagan diagonalga nisbatan ortoganal deyiladi, agarda
1
A
A
bo‘lsa,
3)
vertikal o‘qqa nisbatan ortoganal deyiladi, agarda
1
A
A
bo‘lsa,
4)
gorizontal o‘qqa nisbatan ortoganal deyiladi, agarda
1
A
A
bo‘lsa,
5)
matritsa markaziga nisbatan ortoganal deyiladi, agarda
1
0
A
A
bo‘lsa.
Bu ta’rifdan kelib chiqadiki, agarda A va B kvadrat matritsalar bosh
(bosh bo‘lmagan) diagonalga, vertikal (gorizontal) o‘qqa, matritsa markaziga
nisbatan ortoganal bo‘lsa u xolda
1
A
va AB matritsalar xam mos ravida bosh
(bosh bo‘lmagan) diagonalga, vertikal (gorizontal) o‘qqa, matritsa markaziga
nisbatan ortoganal bo‘ladi.
Dostları ilə paylaş: |