§
2. Kompleks matritsalarni qutub yoyilmasi.
Teorema 2.3.
Agar
n
k
i
ik
a
A
1
,
-kompleks elementli xosmas matritsa
bo`lsa, y holda quydagi yoyilma o`rinli:
,
SO
A
(2.26)
va
44
1
1
S
O
A
(2.27)
bu yerda
S
va
1
S
simmetrik kompleks matritsa,
O
va
1
O
esa ortogonal
kompleks matritsa bo`ladi,
,
,
1
A
A
f
A
A
S
AA
f
AA
S
T
T
T
T
f
va
1
f
-
ga nisbatan qandaydir ko`phadlar.
(2.26) yoyilmadagi, shuningdek (2.27) yoyilmadagi
S
va
O
, mos
ravishda
1
O
va
1
S
matritsalar faqat va faqat
A
va
T
A
o`rin almashunuvchi
bo`lgandagina o`rin almashinuvchi bo`ladi.
Isboti:
(2.26) yoyilmani hosil qilish yetarli, shuningdek bu yoyilma
T
A
matritsaga qo`yilib, va xosil qilingan formuladan
A
matritsani aniqlab,
(2.27) yoyilmaga kelamiz.
Agar (2.26) o`rinli bo`lsa, u holda
S
O
A
SO
A
T
1
,
bo`lib,
2
S
AA
T
(2.28)
bo`ladi.
Aksinch,
T
AA
-xosmas matritsa,
,
0
2
A
AA
T
u holda
funksiyasi
bu matritsaning spektrida aniqlangan bo`ladi. Demak, shunday
f
interpolyatsion kopxad mavjudki,
T
T
AA
f
AA
(2.29)
bo`ladi. (2.29) simmetrik matritsani
T
AA
S
orqali belgilaymiz. U holda
(2.28) o`rinli bo`ladi,
0
S
bo`ladi. (2.26) tenglikdan
O
ni aniqlab,
,
1
A
S
O
osongina tekshirib ko`ramizki, bu matritsa ortogonal. Shunday qilib, (2.26)
da
S
va
O
o`zaro o`rin almashinuvchi bo`lsa, u holda
SO
A
va
S
O
A
T
1
matritsalar
ham
o`rin
almashinuvchi
bo`lib,
O
S
O
A
A
S
AA
T
T
2
1
2
,
bo`ladi. Aksincha, agar
A
A
AA
T
T
bo`lsa,
,
2
1
2
O
S
O
S
45
ya`ni
O
matritsa
T
AA
S
2
matritsa bilan o`rin almashinuvchi. Ammo bu
holda
O
matritsa
T
AA
f
S
matritsa bilan o`rin almashinuvchi bo`ladi.
Teorema 2.4.
Agar ikkita kompleks simmetrik, yoki kososimmetrik,
yoki ortogonal matritsalar
AT
T
B
1
(2.30)
bo`lsa, u holda bu matritsalar ortogonal-o`xshash, yani shunday
O
ortogonal matritsa mavjudki, unda
AO
O
B
1
(2.31)
bo`ladi.
Isboti.
Teorema shartidan kelib chiqsa,
q
ko`phad mavjud bo`lib,
B
q
B
A
q
A
T
T
,
(2.32)
bo`ladi. Bu ko`phad matritsalar simmetrik bo`lgan xolda
ga teng,
kososimmetrik bo`lgan xolda esa
ga teng. Agar
A
va
B
ortogonal
matritsalar bo`lsa u holda
A
va
B
matritsalarning umumiy spektrida
1
uchun
g
interpolyatsion ko`phad bo`ladi.
(2.32) tengliklardan foydalansak, (2.30) dan
T
A
q
T
B
g
1
kelib chiqadi, yoki (2.32) ga asosan
T
A
T
B
T
T
1
bo`ladi. Bundan
1
T
T
AT
T
B
. Bu tenglikni (2.30) ga qo`yib
T
T
ATT
A
TT
(2.33)
ni topamiz.
T
matritsaga teorema 2.3 ni qo`yamiz.
1
,
,
O
O
TT
f
S
S
SO
T
T
T
T
(2.33) ga asosan
T
TT
matritsa
A
matritsa bilan o`rin almashinuvchi, u
holda
T
TT
f
S
matritsa ham
A
matritsa bilan o`rin almashinuvchi
bo`ladi, quydagiga ega bo`lamiz:
.
1
1
1
AO
O
ASO
S
O
B
46
§3. Ko`mpleks simmetrik matritsalarning normal ko`rinishi.
Teorema2. 5.
Avvaldan berilgan ixtiyoriy elementar bo`luvchilarga
ega bo`lgan kompleks simmetrik matritsa mavjud.
Isboti.
O`ng diogonalidan pastdagi elementlari birga teng, qolgan
elementlari nolga teng bo`lgan
n
tartibli
H
matritsani qaraymiz.
matritsaga o`hshash bo`lgan
S
simmetrik matritsa mavjudligini
isbotlaymiz:
H
1
THT
S
(2.34)
T
-almashtiruvchi matritsani
T
T
T
T
T
H
T
S
THT
S
1
1
shartdan kelib chiqib izlaymiz. Bu shartni quydagich yozish mumkin:
,
V
H
VH
T
(2.35)
bu yerda
V
-simmetrik matritsa bo`lib,
T
matritsa bilan
iV
T
T
T
2
(2.36)
tenglik orqali bog`langan.
H
va
T
H
F
matritsalarning xossalariga ko`ra, (2.35) matritsani
tenglamaning ixtiyoriy
V
yechim quydagi ko`rinishga ega:
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
1
1
0
1
0
0
n
a
a
a
a
a
a
V
(2.37)
bu yerda
1
1
0
,
.
.
.
,
,
n
a
a
a
-ixtiyoriy kompleks sonlar,
Bizga bitta
T
almashtiruvchi matritsani izlash yetarli, shuning uchun
bu formulaga
0
.
.
.
,
1
1
1
0
n
a
a
a
deb olib,
V
matritsani quydagicha
aniqlaymiz:
,
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
V
(2.38)
47
Bundan tashqari
T
almashtiruvchi matritsani simmetrik matritsa
ko`rinishda izlaymiz:
T
T
T
(2.39)
U holda (36) tenglama
T
uchun quydagich yozamiz:
iV
T
2
2
(2.40)
Endi
T
noma`lum matritsani
V
ning ko`phad ko`rinishda izlaymiz.
E
V
2
bo`lgani uchun bunday ko`phad sifatida
V
E
T
birinchi
darajali ko`phadni olish mumkin. (2.40) tenglamadan
E
V
2
ekanligini
xisobga olib,
i
2
2
,
0
2
2
ekanligini topamiz. Bu munosabatlardan
i
,
1
ni aniqlaymiz. U holda
iV
E
T
(2.41)
bo`ladi.
T
- xosmas simmetrik matritsa. Shu bilan birga (2.40) dan
,
2
1
2
1
1
1
iVT
T
iV
T
yani
iV
E
T
2
1
1
(2.42)
Shunday qilib,
H
matritsaning
S
-simmetrik ko`rinishi quydagicha
aniqlanadi:
,
2
1
1
iV
E
iV
E
THT
S
0
0
,
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
V
(2.43)
S
matritsa (2.35) tenglamani qanoatlantiradi va
E
V
2
bo`lgani uchun
(2.43) tenglikni quydagi ko`rinishda ham yozish mumkin:
0
0
.
.
1
0
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
1
0
2
i
V
H
H
i
H
H
VH
HV
i
H
H
S
T
T
T
(2.44)
(2.44) formula
H
matritsani
S
simmetrik ko`rinishini aniqlaydi.
48
Agar
n
H
tartibli matritsa bo`lsa, uni
n
H
H
deb belgilaymiz. U
holda mos
S
V
T
,
,
matritsalarni
n
n
n
S
V
T
,
,
deb belgilaymiz.
Quydagi ixtiyoriy elementar bo`luvchilar berilgan bo`lsin:
,
,
.
.
.
,
,
2
2
1
1
i
i
P
P
P
(2.45)
mos mordon matritsani tuzamiz:
,
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
i
P
i
P
i
P
P
P
P
H
E
H
E
H
E
J
Xar bir
j
P
H
matritsa uchun mos
j
P
S
simmetrik formani kiritamiz.
i
j
T
H
T
S
j
j
j
j
P
P
P
P
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
dan
1
j
j
j
j
j
j
P
P
P
j
P
P
P
j
T
H
E
T
S
E
Shuning uchun
i
P
i
P
i
P
P
P
P
S
E
S
E
S
E
S
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
(2.46)
i
P
P
P
T
T
T
T
,
.
.
.
,
,
2
1
(2.47)
deb olib,
1
TJT
S
ga ega bo`lamiz.
J
S
ordon matritsasining simmetrik ko`rinishi ,
S
matritsa
J
matritsaga
o`hshash va (2.46) elementar bo`luvchilarga ega.
Natija2. 1.
Ixtiyoriy
n
k
i
ik
a
A
1
,
kvadrat kompleks matritsa
simmetrik matritsaga o`xshash.
Natija 2.2.
Ixtiyoriy
n
k
i
ik
s
S
1
,
kompleks simmetrik matritsa
S
normal ko`rinishga ega bo`lgan simmetrik matritsa ortogonal –o`xshash,
yani shunday
O
-ortogonal matritsa mavjudki unda quydagi tenglik o`rinli.
.
1
O
S
O
S
(2.48)
Kompleks simmetrik matritsaning normal ko`rinishi quydagacha
kvazidogonal ko`rinishga ega:
i
P
i
P
i
P
P
P
P
S
E
S
E
S
E
S
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
(2.49)
49
bu yerda
p
S
kataklar quydagicha aniqlanadi:
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
0
1
.
.
.
0
0
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
1
0
2
i
V
H
H
i
H
H
iV
E
H
iV
E
S
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
T
T
(2.50)
Dostları ilə paylaş: |