O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti


 Kompleks  matritsalarni  qutub yoyilmasi



Yüklə 3,17 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə17/73
tarix31.12.2021
ölçüsü3,17 Mb.
#81127
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   73
5b1794a00c79b

§
2. Kompleks  matritsalarni  qutub yoyilmasi.
 
 
Teorema  2.3.
    Agar   
n
k
i
ik
a
A
1
,


-kompleks    elementli    xosmas    matritsa  
bo`lsa,  y  holda quydagi  yoyilma  o`rinli: 
                                                     
,
SO
A

 
 
 
 
                  (2.26) 
va 


 
44 
                                                    
1
1
S
O
A

 
 
 
 
                 (2.27) 
bu    yerda     
S
  va 
1
S
    simmetrik    kompleks    matritsa,   
O
  va 
1
O
  esa    ortogonal  
kompleks  matritsa  bo`ladi,  
 
 
 
 
 
,
,
1
A
A
f
A
A
S
AA
f
AA
S
T
T
T
T




 
 

f
 va 
 

1
f
-

ga  nisbatan    qandaydir  ko`phadlar.  
         (2.26)  yoyilmadagi,    shuningdek  (2.27)    yoyilmadagi   
S
  va   
O
  ,    mos  
ravishda 
1
O
 va  
1
S
  matritsalar  faqat  va  faqat  
A
  va  
T
A
  o`rin  almashunuvchi  
bo`lgandagina   o`rin  almashinuvchi  bo`ladi. 
 
Isboti: 
 (2.26)  yoyilmani  hosil  qilish  yetarli,  shuningdek  bu  yoyilma  
T
A
  matritsaga  qo`yilib,  va  xosil  qilingan  formuladan  
A
  matritsani  aniqlab,  
(2.27)  yoyilmaga  kelamiz.  
      Agar (2.26)  o`rinli  bo`lsa,  u  holda  
 
 
 
 
       
S
O
A
SO
A
T
1
,



 
bo`lib,  
 
 
 
 
 
2
S
AA
T

 
 
 
 
                  (2.28) 
bo`ladi. 
        Aksinch, 
T
AA
-xosmas    matritsa,   
,
0
2


A
AA
T
u    holda   

  funksiyasi  
bu    matritsaning  spektrida  aniqlangan    bo`ladi.    Demak,    shunday   
 

f
  
interpolyatsion  kopxad  mavjudki,  
                                        
 
T
T
AA
f
AA

 
 
 
 
                  (2.29) 
bo`ladi.  (2.29)  simmetrik  matritsani   
T
AA
S

  orqali  belgilaymiz. U  holda  
(2.28)  o`rinli  bo`ladi,  
0

S
  bo`ladi.  (2.26)  tenglikdan  
O
 ni  aniqlab,  
  
 
 
 
            
,
1
A
S
O


   
osongina  tekshirib  ko`ramizki,  bu  matritsa  ortogonal.  Shunday  qilib,  (2.26)  
da 
S
  va   
O
    o`zaro    o`rin    almashinuvchi    bo`lsa,  u    holda   
SO
A

    va   
S
O
A
T
1


 
 
matritsalar 
 
ham 
 
o`rin 
 
almashinuvchi 
 
bo`lib,  
O
S
O
A
A
S
AA
T
T
2
1
2
,



 bo`ladi.  Aksincha,  agar  
A
A
AA
T
T

 bo`lsa, 
      
 
 
 
 
,
2
1
2
O
S
O
S


 


 
45 
ya`ni  
O
 matritsa  
T
AA
S

2
  matritsa  bilan  o`rin  almashinuvchi.  Ammo  bu 
holda   
O
  matritsa  
 
T
AA
f
S

  matritsa  bilan  o`rin  almashinuvchi  bo`ladi.  
Teorema 2.4. 
 Agar  ikkita  kompleks  simmetrik,  yoki  kososimmetrik,  
yoki  ortogonal  matritsalar   
 
   
AT
T
B
1


  
 
 
 
        (2.30) 
bo`lsa,    u    holda    bu    matritsalar    ortogonal-o`xshash,    yani      shunday   
O
  
ortogonal  matritsa  mavjudki,  unda   
AO
O
B
1


   
 
 
        (2.31) 
bo`ladi.  
Isboti.
  Teorema  shartidan  kelib  chiqsa,  
 

q
  ko`phad  mavjud  bo`lib,  
 
 
B
q
B
A
q
A
T
T


,
 
 
                  (2.32) 
bo`ladi.    Bu    ko`phad    matritsalar    simmetrik    bo`lgan    xolda   

  ga    teng, 
kososimmetrik    bo`lgan    xolda    esa   


  ga  teng.    Agar   
A
  va 
B
    ortogonal  
matritsalar    bo`lsa  u    holda   
A
  va 
B
    matritsalarning    umumiy    spektrida   

1
  
uchun  
 

g
  interpolyatsion   ko`phad  bo`ladi.  
         (2.32)  tengliklardan    foydalansak,  (2.30)  dan  
 
 
T
A
q
T
B
g
1


  
kelib  chiqadi,  yoki  (2.32)  ga  asosan  
T
A
T
B
T
T
1


 
bo`ladi. Bundan      
1


T
T
AT
T
B
.  Bu  tenglikni  (2.30)  ga  qo`yib   
T
T
ATT
A
TT

 
 
 
 
        (2.33) 
ni  topamiz.  
    
T
 matritsaga  teorema 2.3 ni  qo`yamiz.  
 


1
,
,





O
O
TT
f
S
S
SO
T
T
T
T
 
     (2.33)  ga  asosan  
T
TT
  matritsa  
A
  matritsa  bilan  o`rin  almashinuvchi,  u  
holda   
 
T
TT
f
S

    matritsa    ham   
A
    matritsa    bilan    o`rin    almashinuvchi  
bo`ladi,    quydagiga  ega   bo`lamiz: 
 
 
 
 
.
1
1
1
AO
O
ASO
S
O
B





 


 
46 
§3. Ko`mpleks  simmetrik  matritsalarning  normal  ko`rinishi. 
Teorema2. 5. 
Avvaldan   berilgan   ixtiyoriy   elementar  bo`luvchilarga  
ega  bo`lgan  kompleks  simmetrik  matritsa  mavjud.  
Isboti.   
O`ng    diogonalidan    pastdagi    elementlari    birga    teng,  qolgan  
elementlari    nolga    teng    bo`lgan   

n
tartibli 
H
    matritsani    qaraymiz.  
matritsaga    o`hshash    bo`lgan   
S
    simmetrik    matritsa    mavjudligini  
isbotlaymiz: 
H
 
1


THT
S
   
 
 
 
        (2.34) 
T
-almashtiruvchi  matritsani  
T
T
T
T
T
H
T
S
THT
S
1
1





 
shartdan  kelib  chiqib  izlaymiz.  Bu  shartni  quydagich  yozish  mumkin: 
,
V
H
VH
T

   
 
 
 
                  (2.35) 
bu  yerda   
V
-simmetrik  matritsa  bo`lib,  
T
 matritsa  bilan  
  
 
 
 
iV
T
T
T
2


    
 
 
 
                  (2.36) 
tenglik  orqali  bog`langan. 
        
H
va 
T
H
F

    matritsalarning    xossalariga    ko`ra,  (2.35)    matritsani  
tenglamaning   ixtiyoriy  
V
  yechim  quydagi  ko`rinishga  ega:  
  
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
1
1
0
1
0
0


n
a
a
a
a
a
a
V
 
  
 
 
        (2.37) 
bu yerda  
1
1
0
,
.
.
.
,
,

n
a
a
a
-ixtiyoriy  kompleks  sonlar,  
     Bizga  bitta  
T
  almashtiruvchi  matritsani  izlash   yetarli,  shuning  uchun  
bu    formulaga   
0
.
.
.
,
1
1
1
0





n
a
a
a
    deb    olib,   
V
    matritsani    quydagicha  
aniqlaymiz: 
  
,
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0

V
 
 
 
                  (2.38) 


 
47 
Bundan  tashqari  

T
almashtiruvchi  matritsani  simmetrik  matritsa  
ko`rinishda  izlaymiz: 
T
T
T

 
 
 
 
                  (2.39) 
U  holda  (36)  tenglama  
T
  uchun  quydagich  yozamiz:  
iV
T
2
2


    
 
 
                  (2.40) 
Endi  
T
  noma`lum  matritsani  
V
  ning  ko`phad  ko`rinishda  izlaymiz.  
E
V

2
    bo`lgani    uchun    bunday    ko`phad      sifatida   
V
E
T




    birinchi  
darajali    ko`phadni    olish    mumkin.    (2.40)    tenglamadan   
E
V

2
    ekanligini   
xisobga  olib,  
i
2
2
,
0
2
2







  ekanligini  topamiz.  Bu munosabatlardan  
i





,
1
  ni  aniqlaymiz.  U holda   
iV
E
T


   
 
 
                  (2.41) 
bo`ladi.  
T
-   xosmas  simmetrik  matritsa.  Shu  bilan  birga  (2.40) dan            
,
2
1
2
1
1
1
iVT
T
iV
T




 
 yani 


iV
E
T



2
1
1
 
 
 
                  (2.42) 
Shunday    qilib,   
H
    matritsaning   
S
-simmetrik    ko`rinishi    quydagicha  
aniqlanadi: 



,
2
1
1
iV
E
iV
E
THT
S





0
0
,
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0

V
 
                  (2.43) 
S
  matritsa  (2.35)  tenglamani   qanoatlantiradi  va 
E
V

2
  bo`lgani  uchun  
(2.43)  tenglikni    quydagi  ko`rinishda  ham  yozish  mumkin: 






0
0
.
.
1
0
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
1
0
2













i
V
H
H
i
H
H
VH
HV
i
H
H
S
T
T
T
    
        (2.44) 
(2.44) formula  
H
matritsani 
S
 simmetrik  ko`rinishini  aniqlaydi.  


 
48 
       Agar   


n
H
tartibli    matritsa    bo`lsa,    uni   
 
n
H
H

    deb    belgilaymiz.  U  
holda  mos 
S
V
T
,
,
 matritsalarni  
 
   
n
n
n
S
V
T
,
,
  deb  belgilaymiz.  
    Quydagi  ixtiyoriy   elementar  bo`luvchilar  berilgan  bo`lsin: 
           

 



,
,
.
.
.
,
,
2
2
1
1
i
i
P
P
P









 
 
        (2.45) 
mos  mordon  matritsani  tuzamiz: 
 
 
 
 
 
 


,
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
i
P
i
P
i
P
P
P
P
H
E
H
E
H
E
J







 
Xar  bir  
 
j
P
H
  matritsa  uchun  mos  
 
j
P
S
  simmetrik    formani  kiritamiz.  
 
     
 
i
j
T
H
T
S
j
j
j
j
P
P
P
P
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1



 
dan  
 
 
 
 
 


 
 
1




j
j
j
j
j
j
P
P
P
j
P
P
P
j
T
H
E
T
S
E


 
Shuning  uchun 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


i
P
i
P
i
P
P
P
P
S
E
S
E
S
E
S







,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
 
        (2.46) 
 
 
 
 
   
 


i
P
P
P
T
T
T
T
,
.
.
.
,
,
2
1

   
 
                  (2.47) 
deb  olib, 
1


TJT
S
 
ga  ega   bo`lamiz. 
J
S

ordon    matritsasining    simmetrik    ko`rinishi  , 
S
    matritsa 
J
    matritsaga  
o`hshash  va  (2.46) elementar  bo`luvchilarga  ega. 
Natija2.  1. 
Ixtiyoriy   



n
k
i
ik
a
A
1
,
  kvadrat      kompleks      matritsa  
simmetrik  matritsaga   o`xshash. 
Natija  2.2. 
Ixtiyoriy   



n
k
i
ik
s
S
1
,
  kompleks    simmetrik    matritsa 
S
  
normal  ko`rinishga   ega  bo`lgan  simmetrik   matritsa    ortogonal –o`xshash,  
yani  shunday  
O
-ortogonal  matritsa  mavjudki  unda  quydagi  tenglik  o`rinli. 
  
.
1


O
S
O
S
  
 
 
 
                  (2.48) 
     Kompleks    simmetrik      matritsaning    normal    ko`rinishi    quydagacha  
kvazidogonal   ko`rinishga  ega: 
               
 
 
 
 
 
 


i
P
i
P
i
P
P
P
P
S
E
S
E
S
E
S







,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
 
        (2.49) 


 
49 
bu  yerda  
 
p
S
  kataklar  quydagicha  aniqlanadi: 
 
 
 


 
 
 


 
 
 
 


 


0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
0
1
.
.
.
0
0
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
1
0
2











i
V
H
H
i
H
H
iV
E
H
iV
E
S
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
T
T
    (2.50) 
 
Yüklə 3,17 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   73




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə