174
Teorema 7.3.
(7.1) kvadratik forma musbat aniqlangan bo’lishi uchun
,
0
11
1
a
D
0
,...,
0
22
12
12
11
2
A
D
a
a
a
a
D
n
(7.35)
tengsizliklarni bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti.
(7.35) shartlarni yetarli ekanligi (7.25) Yakobi formulalaridan
kelib chiqadi. (7.35) shartlarni zarurligini quyidagicha ko’rsatamiz.
Ax
x
Т
formaning musbat aniqlanganligidan kelib chiqadiki, quyidagi
qirqib olingan
,
1
,
k
i
ik
p
k
i
p
Т
x
x
a
x
A
x
(p=1,2,…,n)
forma ham musbat aniqlangan bo’ladi. Ammo, bu holda barcha formalar
singulyar bo’lmasligi, ya’ni
0
p
p
A
D
(p=1,2,…,n)
bo’lishi kerak.
Endi biz Yakobining (7.25) formulalarini (r=n) da qo’llash imkoniyatiga
ega bo’lamiz. Bu formulalarning o’ng tomonidagi barcha kvadratlar musbat
bo’lishi kerak, u holda
0
,...,
0
,
0
1
2
1
1
n
n
D
D
D
D
D
Bundan (7.35) shartlarning zarurligi kelib chiqadi.
Natija:
Musbat aniqlangan
k
i
ik
n
k
i
Т
x
x
a
Ax
x
1
,
kvadratik formaning koeffitsientlaridan tuzilgan A matritsani barcha bosh
minorlari musbat , ya’ni
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p
,...,
2
,
1
;
...
1
(
0
...
...
2
1
2
1
2
1
(7.36)
Eslatma.
Bosh minorlar ketma-ketligining manfiymas, ya’ni
0
,...,
0
,
0
2
1
n
D
D
D
ekanligidan
Ax
x
Т
formaning manfiymas ekanligi kelib chiqmaydi.
175
Teorema 7.4.
(7.1) kvadratik forma manfiymas bolishi uchun uning
matritsasini barcha bosh minorlari manfiymas, ya’ni
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p
,...,
2
,
1
;
...
1
(
0
...
...
2
1
2
1
2
1
bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isboti:
Quyidagi yordamchi formani qaraymiz
2
1
i
n
i
t
t
x
Ax
x
x
A
x
0
.
Bundan,
Ax
x
x
A
x
T
Т
0
lim
kelib chiqadi.
Ax
x
T
formaning manfiymasligidan
x
A
x
T
formaning musbat
aniqlanganligi kelib chiqadi, shuning uchun quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.
𝐴
𝜀
(
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
) > 0(1 ≤ 𝑖
1
≤ 𝑖
2
… ≤ 𝑖
𝑃
≤ 𝑛; 𝑃 = 1,2 … , 𝑛)
Bundan,
𝜀 → 0
da limitga o’tib, (7.36) shartni xosil qilamiz.
Aksincha (7.36) shart bajarilsin. Bundan kelib chiqadiki,
𝐴
𝜀
(
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
)
=
𝜀
𝑝
+ ⋯ ≥ 𝜀
𝑝
> 0(1 ≤ 𝑖
1
≤ ⋯ ≤ 𝑖
𝑃
≤ 𝑛; 𝑃 = 1,2 … , 𝑛)
Ammo, bu holda teorema 7.3 ga asosan
𝑥
𝑇
𝐴
𝜀
𝑥 > 0 (𝑥 ≠ 0)
Bundan
𝜀 → 0
da limitga o’tib,
𝑥
𝑇
𝐴
𝜀
𝑥 > 0
ni xosil qilamiz.
Kvadratik formaning musbatmaslik va manfiy aniqlanganlik shartlarini,
mos ravishda (7.35) va (7.36) tengsizliklarni
−𝑥
𝑇
𝐴𝑥
formaga qo’llab xosil
qilamiz.
Teorema. 7.5
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
kvadratik forma manfiy aniqlangan bo’lishi uchun
𝐷
1
< 0, 𝐷
2
> 0, 𝐷
3
< 0, (−1)
𝑛
𝐷
𝑛
> 0 (7.35
′
)
tengsizliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
176
Teorema. 7.6
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
kvadratik forma musbatmas bo’lishi uchun
(−1)
𝑝
𝐴 (
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
)
≥
0 (1 ≤ 𝑖
1
≤ ⋯ ≤ 𝑖
𝑃
≤ 𝑛; 𝑃 = 1,2 … , 𝑛) (7.36
′
)
tengsizliklarni bajarilishi zarur va yetarli.
§6. Kvadratik formalarni bosh o’qlarga keltirish.
Quyidagi ixtiyoriy haqiqiy kvadratik formani qaraymiz
n
k
i
k
i
ik
T
x
x
a
Ax
x
1
,
.
Uning matritsasi
𝐴 = (𝑎
𝑖𝑘
)
𝑖,𝑘=1
𝑛
haqiqiy, simmetrik bo’ladi. Shuning
uchun
𝜑
qandaydir Λ haqiqiy diogonal matritsaga ortogonal- o’xshash bo’ladi,
ya’ni shunday
𝑄
haqiqiy ortogonal matritsa mavjudki, unda
Λ
= Q
−1
𝐴𝑄 , (
Λ
= (
λ
i
δ
ik
)
i,k=1
n
, 𝑄𝑄
𝑇
= 𝐸)
(7.37)
bo’ladi. Bu yerda λ
1
,
λ
2
, … ,
λ
n
− 𝐴
matritsaning harakteristik sonlari.
Ortogonal matritsa uchun
𝑄
−1
= 𝑄
𝑇
bo’lgani uchun (7.37) dan kelib
chiqadiki,
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
forma o’zgaruvchilarni
𝑥 = 𝑄𝜉 (𝑄𝑄
𝑇
= 𝐸),
𝑥
𝑖
= ∑
𝑞
𝑖𝑘
𝑛
𝑘=1
𝜉
𝑘
(∑
𝑞
𝑖𝑗
𝑞
𝑘𝑗
𝑛
𝑗=1
= 𝛿
𝑖𝑘
, 𝑖, 𝑘, = 1,2, … , 𝑛)
(7.38)
Orotgonal almashtirishda quyidagi ko’rinishga keladi:
𝜉
𝑇
Λ
𝜉 = ∑
λ
i
𝜉
i
𝑛
𝑖=1
(7.39)
Teorema. 7.7.
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 −
haqiqiy kvadratik formani har doim ortogonal
alamshtirish yordamida (7.39) kanonik ko’rinishga keltirish mumkin bo’lib,
λ
1
,
λ
2
, … ,
λ
n
lar
𝐴
matritsaning xarakteristik sonlari bo’ladi.
Kvadratik formani ortogonal almashtirish yordamida kanonik ko’rinishga
keltirish uni bosh o’qlarga keltirish deyiladi. Bunday nomlanish shu bilan
bog’liqki,unda
∑
𝑎
𝑖𝑘
𝑛
𝑖,𝑘=1
𝑥
𝑖
𝑥
𝑘
= 𝑐 (𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≠ 0)
(7.40)
ikkinchi tartibli gipersirt tenglamasi o’zgaruvchilarni (7.38) ortogonal
almashtirishda quyidagi kanonik ko’rinishni oladi:
177
∑
𝜉
𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
2
𝑎
𝑖
2
= 1 (
𝜉
𝑖
𝑎
𝑖
2
=
λ
i
𝑐
; 𝜀
i
= ±1; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
(7.41)
(7.39) formuladan kelib chiqadiki,
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
formaning rangi
𝑟,
𝐴
matritsaning noldan farqli xarakteristik sonlari soniga teng bo’lib,
𝜎
signatura
𝐴
matritsaning musbat va manfiy xarakteristik sonlari sonining ayirmasiga teng
bo’ladi.
Bundan, hususiy xolda quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
Agar kvadratik forma koeffitsientlari uzluksiz o’zgarganda uning rangi
o’zgarmasa, u xolda koeffitsientlarni bunday o’zgarishida uning signaturasi
ham o’zgarmay qoladi.
(7.39) formuladan yana kelib chiqadiki,
𝐴
haqiqiy simmetrik matritsa
yarim musbat aniqlangan (musbat aniqlangan) bo’ladi, faqat va faqat shu
holdaki, qachonki,
𝐴
matritsaning barcha xarakteristik sonlari manfiymas
(musbat) bo’lsa, ya’ni u quyidagi ko’rinishda ifodalansa
𝐴 = 𝑄(
λ
i
δ
ik
)
𝑖,𝑘=1
𝑛
𝑄
−1
[
λ
i
≥ 0 (
λ
i
> 0), i = 1,2, … n] (7.42)
𝐹 = 𝑄(√
λ
i
δ
ik
)
𝑖,𝑘=1
𝑛
𝑄
−1
(7.43)
yarim musbat aniqlangan (musbat aniqlangan) matritsa
𝐴
yarim musbat
aniqlangan (musbat aniqlangan) matritsaning kvadrat ildizi bo’ladi:
𝐹 = √𝐴 (7.44)
Dostları ilə paylaş: |