O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

 

---

 
174 
Teorema 7.3.
 (7.1) kvadratik forma musbat aniqlangan bo’lishi uchun   
                 
,
0
11
1


a
D
 
0
,...,
0
22
12
12
11
2




A
D
a
a
a
a
D
n
                        (7.35) 
tengsizliklarni   bajarilishi  zarur  va  yetarlidir. 
  
Isboti.
  (7.35)  shartlarni  yetarli ekanligi  (7.25)  Yakobi formulalaridan 
kelib chiqadi.  (7.35) shartlarni zarurligini  quyidagicha ko’rsatamiz.  
Ax
x
Т
  formaning    musbat    aniqlanganligidan    kelib  chiqadiki,  quyidagi 
qirqib olingan  
,
1
,
k
i
ik
p
k
i
p
Т
x
x
a
x
A
x



 (p=1,2,…,n) 
forma  ham  musbat  aniqlangan  bo’ladi.  Ammo,  bu  holda  barcha  formalar  
singulyar bo’lmasligi, ya’ni  
0


p
p
A
D
  (p=1,2,…,n) 
bo’lishi  kerak. 
 Endi biz  Yakobining  (7.25)  formulalarini   (r=n) da qo’llash imkoniyatiga 
ega  bo’lamiz.  Bu  formulalarning  o’ng  tomonidagi  barcha  kvadratlar  musbat 
bo’lishi kerak, u  holda   
0
,...,
0
,
0
1
2
1
1




n
n
D
D
D
D
D
 
Bundan (7.35) shartlarning zarurligi kelib chiqadi. 
Natija:
  Musbat aniqlangan 
k
i
ik
n
k
i
Т
x
x
a
Ax
x



1
,
 
kvadratik  formaning  koeffitsientlaridan    tuzilgan    A  matritsani    barcha    bosh 
minorlari   musbat , ya’ni 
                     
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p
,...,
2
,
1
;
...
1
(
0
...
...
2
1
2
1
2
1














              (7.36) 
 
Eslatma.
  Bosh minorlar ketma-ketligining  manfiymas, ya’ni  
0
,...,
0
,
0
2
1



n
D
D
D
 
ekanligidan  
Ax
x
Т
  formaning  manfiymas  ekanligi  kelib chiqmaydi. 

---

 
175 
Teorema    7.4.
  (7.1)  kvadratik    forma  manfiymas    bolishi  uchun    uning  
matritsasini  barcha bosh minorlari  manfiymas, ya’ni 
                           
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p
,...,
2
,
1
;
...
1
(
0
...
...
2
1
2
1
2
1















 
bo’lishi zarur va yetarlidir.    
Isboti: 
Quyidagi yordamchi formani qaraymiz 
2
1
i
n
i
t
t
x
Ax
x
x
A
x






 


0


. 
Bundan, 


Ax
x
x
A
x
T
Т




0
lim
   kelib chiqadi. 
Ax
x
T
    formaning    manfiymasligidan   
x
A
x
T

  formaning  musbat 
aniqlanganligi kelib chiqadi, shuning uchun  quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi. 
𝐴
𝜀
(
𝑖
1
𝑖
2 
…   𝑖
𝑝
𝑖
1
𝑖
2
 …   𝑖
𝑝
) > 0(1 ≤ 𝑖
1
≤ 𝑖
2
… ≤ 𝑖
𝑃
≤ 𝑛;    𝑃 = 1,2 … , 𝑛)
 
Bundan,  
𝜀 → 0 
 da limitga o’tib, (7.36) shartni xosil qilamiz.  
Aksincha (7.36) shart bajarilsin. Bundan kelib chiqadiki,  
𝐴
𝜀
(
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
)
=
𝜀
𝑝
+ ⋯ ≥ 𝜀
𝑝
> 0(1 ≤ 𝑖
1
≤ ⋯ ≤ 𝑖
𝑃
≤ 𝑛;    𝑃 = 1,2 … , 𝑛)
 
Ammo,  bu holda teorema 7.3 ga asosan  
𝑥
𝑇
𝐴
𝜀
𝑥 > 0     (𝑥 ≠ 0)
 
Bundan 
𝜀 → 0 
da limitga o’tib,  
𝑥
𝑇
𝐴
𝜀
𝑥 > 0
 
ni  xosil qilamiz.  
 
Kvadratik  formaning  musbatmaslik  va  manfiy  aniqlanganlik  shartlarini, 
mos  ravishda  (7.35)  va  (7.36)    tengsizliklarni 
−𝑥
𝑇
𝐴𝑥
    formaga  qo’llab  xosil 
qilamiz.  
 
Teorema. 7.5
 
  𝑥
𝑇
𝐴𝑥
   kvadratik forma manfiy aniqlangan bo’lishi uchun  
                                
𝐷
1
< 0, 𝐷
2
> 0, 𝐷
3
< 0, (−1)
𝑛
𝐷
𝑛
> 0                         (7.35
′
 )
 
tengsizliklarning bajarilishi zarur va yetarli.  
 
 

---

 
176 
Teorema. 7.6
   
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
  kvadratik forma musbatmas bo’lishi uchun  
(−1)
𝑝
𝐴 (
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
𝑖
1
𝑖
2
… 𝑖
𝑝
)
≥
0  (1 ≤ 𝑖
1
≤ ⋯ ≤ 𝑖
𝑃
≤ 𝑛;    𝑃 = 1,2 … , 𝑛)          (7.36
′
 )
 
tengsizliklarni bajarilishi zarur va yetarli.  
 
§6. Kvadratik formalarni bosh o’qlarga keltirish. 
Quyidagi ixtiyoriy haqiqiy kvadratik formani qaraymiz  



n
k
i
k
i
ik
T
x
x
a
Ax
x
1
,
 . 
Uning  matritsasi 
𝐴 = (𝑎
𝑖𝑘
)
𝑖,𝑘=1
𝑛
    haqiqiy,  simmetrik  bo’ladi.  Shuning 
uchun 
𝜑
 qandaydir Λ  haqiqiy diogonal matritsaga ortogonal- o’xshash bo’ladi, 
ya’ni shunday 
𝑄
 haqiqiy ortogonal matritsa mavjudki, unda  
                        Λ
= Q
−1
𝐴𝑄   ,   (
Λ
= (
λ
i
δ
ik
)
i,k=1
n
, 𝑄𝑄
𝑇
= 𝐸)
                    (7.37) 
bo’ladi.  Bu yerda λ
1
,
λ
2
, … ,
λ
n
− 𝐴
  matritsaning harakteristik sonlari.  
Ortogonal  matritsa  uchun 
𝑄
−1
= 𝑄
𝑇
      bo’lgani  uchun  (7.37)  dan  kelib 
chiqadiki, 
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
  forma o’zgaruvchilarni 
𝑥 = 𝑄𝜉    (𝑄𝑄
𝑇
= 𝐸),   
 
                      𝑥
𝑖
= ∑
𝑞
𝑖𝑘
𝑛
𝑘=1
𝜉
𝑘
(∑
𝑞
𝑖𝑗
𝑞
𝑘𝑗
𝑛
𝑗=1
= 𝛿
𝑖𝑘
, 𝑖, 𝑘, = 1,2, … , 𝑛)
              (7.38) 
Orotgonal almashtirishda quyidagi ko’rinishga keladi:  
                                                    𝜉
𝑇
Λ
𝜉 = ∑
λ
i
𝜉
i
𝑛
𝑖=1
 
                                            (7.39) 
Teorema.  7.7. 
𝑥
𝑇
𝐴𝑥 − 
haqiqiy  kvadratik  formani  har  doim  ortogonal 
alamshtirish    yordamida  (7.39)    kanonik  ko’rinishga  keltirish  mumkin  bo’lib, 
λ
1
,
λ
2
, … ,
λ
n
  lar 
𝐴
 matritsaning xarakteristik sonlari bo’ladi.  
 
Kvadratik formani ortogonal almashtirish yordamida kanonik ko’rinishga 
keltirish  uni  bosh  o’qlarga  keltirish  deyiladi.  Bunday  nomlanish  shu  bilan 
bog’liqki,unda  
                                        
∑
𝑎
𝑖𝑘
𝑛
   𝑖,𝑘=1
𝑥
𝑖
𝑥
𝑘
= 𝑐   (𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≠ 0)
                (7.40) 
ikkinchi    tartibli    gipersirt  tenglamasi  o’zgaruvchilarni  (7.38)  ortogonal 
almashtirishda quyidagi kanonik ko’rinishni oladi:  

---

 
177 
                                   
∑
𝜉
𝑖
𝑛
𝑖=1
𝜉
𝑖
2
𝑎
𝑖
2
= 1  (
𝜉
𝑖
𝑎
𝑖
2
=
λ
i
𝑐
;  𝜀
i
= ±1;   𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
   (7.41) 
 
(7.39)  formuladan  kelib  chiqadiki, 
𝑥
𝑇
𝐴𝑥
  formaning  rangi 
𝑟,
 
𝐴
 
matritsaning noldan farqli xarakteristik sonlari soniga teng bo’lib, 
𝜎
 signatura 
𝐴
 
matritsaning  musbat  va  manfiy  xarakteristik  sonlari  sonining  ayirmasiga  teng 
bo’ladi.  
 
Bundan,  hususiy xolda quyidagi tasdiq kelib chiqadi.  
Agar  kvadratik  forma  koeffitsientlari  uzluksiz  o’zgarganda  uning  rangi 
o’zgarmasa,  u  xolda  koeffitsientlarni    bunday  o’zgarishida    uning  signaturasi 
ham o’zgarmay qoladi.  
(7.39)  formuladan  yana  kelib  chiqadiki, 
𝐴
  haqiqiy  simmetrik  matritsa 
yarim  musbat  aniqlangan  (musbat  aniqlangan)  bo’ladi,  faqat  va  faqat  shu 
holdaki,    qachonki, 
𝐴
  matritsaning  barcha  xarakteristik  sonlari  manfiymas 
(musbat) bo’lsa, ya’ni u quyidagi ko’rinishda ifodalansa  
                
𝐴 = 𝑄(
λ
i
δ
ik
)
𝑖,𝑘=1
𝑛
𝑄
−1
[
λ
i
≥ 0  (
λ
i
> 0), i = 1,2, … n]       (7.42)
 
                
𝐹 = 𝑄(√
λ
i
δ
ik
)
𝑖,𝑘=1
𝑛
𝑄
−1
                                                             (7.43)
 
yarim  musbat  aniqlangan  (musbat    aniqlangan)  matritsa 
𝐴
  yarim  musbat 
aniqlangan (musbat  aniqlangan) matritsaning kvadrat ildizi bo’ladi:  
                             
𝐹 = √𝐴                                                                          (7.44)