O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§8.Matritsa logarifmi. 
 
Quyidagi matritsali tenglamani qaraymiz: 
A
e
X

                                                         (6.90) 
 
Bu  tenglamaning  barcha  yechimlarini 
A
  matritsaning  logarifmi  (natural) 
deb, uni 
A
ln
 dek belgilaymiz. 
A
 matritsaning 
j

 xarakteristik soni 
X
 matritsaning 
j

 xarakteristik soni 
bilan 
j
e
j



  formula  orqali  bog’langan,  shuning  uchun,  agar  (90)  tenglama 
yechimga ega bo’lsa, u holda 
A
 matritsaning barcha xarakteristik sonlari noldan 
farqli  bo’li, 
A
  xosmas  matritsa 
)
0
(

A
  bo’ladi.  Demak, 
)
0
(

A
  shart  (6.90) 
tenglama  yechimi  mavjudligi  uchun  zarurdir.  Bu  shart  yetarli  ham  bo’lishini 
keyinroq ko’ramiz. 
0

A
 bo’lsin. 
A
 matritsaning elementar bo’luvchilarini yozamiz: 
u
p
u
p
p
)
(
,....,
)
(
,
)
(
2
1
2
1









 
)
...
,
0
,....,
,
(
2
1
2
1
n
p
p
p
u
u








                                        (6.91) 
Bu elementar bo’luvchilarga mos ravishda  
A
 matritsani Jordonning 
normal ko’rinishiga keltiramiz: 


1
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
1
,...,
~
1
1






U
H
E
H
E
U
U
A
U
A
u
u
p
p
u
p
p


.                 (6.92) 
Ma’lumki, 

e
funksiyaning  xosilasi 

  ning  barcha  qiymatlarida  noldan 
farqli,  shuning  uchun 
X
  matritsadan 
A
e
X

  matritsaga  o’tishda  elementar 
bo’luvchilar  yoyilmaydi,  ya’ni 
X
  matritsa  quyidagi  elementar  bo’luvchilarga 
ega bo’ladi: 
u
p
u
p
p
)
(
,....,
)
(
,
)
(
2
1
2
1









,                   (6.93) 
bu yerda  
j
e
j



u
j
,...,
2
,
1

 , ya’ni 
j

 
j

ln
 ning qiymatlaridan biri bo’ladi. 
 

 o’zgaruvchili kompleks tekislikda markazi  
j

 nuqtada bo’lgan 
j

 dan 
kichik  radiusli  doirani  olamiz  va 


ln
)
(

j
f
  orqali 

ln
  funksiyaning 
qaralayotgan doiradagi shunday tarmog’ini olamizki, u 
j

 nuqtada 
X
 matritsani 
j

u
j
,...,
2
,
1

  xarakteristik  soniga  teng  qiymatlarni  qabul  qilsin.  Shundan  so’ng 
faraz qilamiz: 

---

 
159 
...
ln
)
(
)
ln(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(







j
j
j
j
j
j
p
j
p
j
p
p
j
j
p
p
j
H
E
H
E
f
H
E




   (6.94) 

ln
  dan  olingan  hosila  (

  tekislikning  chekli  qismida)  hech  qayerda 
nolga  aylanmaydi,  u  holda  (6.94)  matritsa  faqat  bitta 
j
p
j
)
(



  elementar 
bo’luvchiga ega bo’ladi. Bunga asosan quyidagi kvazidiogonal matritsa 


)
ln(
),...,
ln{
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
1
1
u
u
p
p
u
p
p
H
E
H
E




                                 (6.95) 
va   
X
  izlanayotgan  matritsa  xuddi  shu  elementar  bo’luvchiga  ega.  Shuning 
uchun shunday T matritsa mavjudki, unda  


1
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
)
ln(
),...,
ln{
1
1




T
H
E
H
E
T
X
u
u
p
p
u
p
p


            (6.96) 
 
T matritsani aniqlash uchun quyidagini qaraymiz:  


X
e
A


1
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
)
ln(
),...,
ln{
1
1



T
H
E
H
E
T
u
u
p
p
u
p
p


                 (6.97) 
(6.97) va (6.92) larni solishtirib, quyidagini topamiz: 
A
UX
T
~

                                             (6.98) 
bu  yerda 
A
X
~
  -
A
~
  matritsa  bilan  o’rin  almashinuvchi  ixtiyoriy  matritsa.  (6.98) 
dan  topilgan  T  uchun ifodani  (6.96) ga qo’yib,  matritsaning  barcha  logarifmini 
o’z ichiga oluvchi umumiy formulani hosil qilamiz: 


1
1
~
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
~
)
ln(
),...,
ln{
1
1





U
X
H
E
H
E
UX
X
A
p
p
u
p
p
A
u
u


                  (6.99) 
 
Eslatma.Agar 
A
  matritsaning  barcha  elementar  bo’luvchilari  o’zaro  tub 
bo’lsa,  u  holda  (6.99)  formulaning  o’ng  tomonidagi 
A
X
~
  va 
A
X
~
1

 
ko’paytuvchilarni tashlab yuborish mumkin. 
Qachon haqiqiy xosmas 
A
 matritsa haqiqiy  
X
 logarifmga ega bo’lishini 
aniqlaymiz.  Izlanayotgan  matritsa 


i

  xarakteristik  songa  mos  bir  nechta 
elementar  bo’luvchilarga  ega  bo’lsin: 
t
q
q
i
i
)
(
,...,
)
(
1










. 
X
  matritsa 
haqiqiy  bo’lgani  uchun    u  qo’shma  elementar  bo’luvchilarga  ham  ega  : 
t
q
q
i
i
)
(
,...,
)
(
1










. 
X
  matritsadan 
A
  matritsaga  o’tishda  elementar 
bo’luvhchilar 
yoyilmaydi, 
ammo 


i

,


i

 
xarakteristik 
sonlar 
0












e
e
e
i
i
  son  bilan  almashadi.  Shuning  uchun 
A
  matritsa 
elementar bo’luvchilari sistemasida manfiy xarakteristik songa mos keluvchi har 
bir  elementar bo’luvchi  (agar  mavjud bo’lsa)  juft son  marta takrorlanadi.  Endi 

---

 
160 
bu  zaruruy  shartni  etarli  ham  ekanligini  isbotlaymiz,  ya’ni 
A
-  haqiqiy  xosmas 
matritsa  faqat  va  faqat  shu  holda 
X
  haqiqiy  logarifmga  ega  bo’ladi,  agarda 
A
 
matritsa  manfiy  xarakteristik  sonlarga  mos  elementar  bo’luvchilarga  ega 
bo’lmasa,  yoki  (agar  mavjud  bo’lsa)  bunday  elementar  bo’luvchilar  juft  son 
marta takrorlansa. 
 
Haqiqatan,  bu  shart  bajarilgan  bo’lsin.  U  holda  (6.94)  formulaga  mos 
(6.95)  kvazidiogonal  matritsada 
i

haqiqiy  va  musbat  bo’lgan  kataklarda 
i

ln
 
uchun  haqiqiy  qiymatlarini  olamiz,  agar  qandaydir  katak  kompleks 
n

  ga  ega 
bo’lsa, u holda xuddi  shunday  o’lchovli boshqa katak topilib, bu katakda 

ln
  
va 
g

ln
 uchun kompleks qo’shma qiymatni olamiz. Har bir katak shartga ko’ra 
(6.98)  da  juft  son  marta  takrorlanadi.  U  holda  bu  kataklarning  yarmida 



i
k
k


ln
ln
,  qolgan  yarmida  esa 



i
k
k


ln
ln
  deb  olamiz.  U  holda 
kvazidiogonal  matritsaning  diogonalidagi  elementlari  yoki  haqiiqy,  yoki 
qo’shma  kompleks  bo’ladi.  Ammo  bunday  kvazidiogonal  matritsa  har  doim 
haqiqiy  matritsaga  o’xshash  bo’ladi.  Shuning  uchun  ,  shunday 
1
T
 


0
1

T
 
xosmas matritsa mavjud bo’ladiki, unda  


1
1
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
1
1
)
ln(
),...,
ln{
1
1




T
H
E
H
E
T
X
u
u
p
p
u
p
p


 
matritsa  haqiqiqy  bo’ladi  .  Ammo,  bu  holda  quyidagi  matritsa  ham  haqiqiy 
bo’ladi: 


1
1
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
1
1
)
ln(
),...,
ln{
1
1
1





T
H
E
H
E
T
e
A
u
u
p
p
u
p
p
X


             (6.100) 
(6.100)  va  (6.92)  lardan  ko’rinadiki, 
A
  va 
1
A
  matritsalar  o’zaro  o’xshash. 
Ammo ikkita o’zaro o’xshash matritsalar, qandaydir haqiqiy xosmas 
W
-matritsa 
yordamida bir-biriga almashtirilishi mumkin: 
1
1
1
1
1
1






W
WX
X
e
W
We
W
WA
A
: 
U  holda 
1
1


W
WX
X
  matritsa 
A
  matritsaning  izlangan  haqiqiqy  logarifmi 
bo’ladi. 
 
Mashqlar. 

---

 
161 
1.
 
Agar 
𝐴 = 𝑃𝐽𝑃
−1
    va   
𝐵 = 𝑄𝑗̂𝑄
−1
    bo’lib, 
𝐽
,
 𝑗̂
    -  matritsalar  Jordonning 
normal formasida bo’lsa, u xolda 
𝑌 = 𝑃
−1
𝑋𝑄
    bo’lganda  AX+XB=0  (X 
uchun) va JY+Y
 𝑗̂
=0 (Y uchun) ekvivalent ekanligini isbotlang. 
2.
 
Agar A matritsa har-xil xos qiymatlarga ega bo’lsa, u xolda A bilan o’rin 
almashinuvchi matritsa soda matritsa bo’ladi. 
3.
 
Agar  f  funksiya A matritsa spektorida aniqlangan bo’lsa, u xolda f(A) va 
A matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi bo’lishini aniqlang. 
4.
 
Agar  A-  har-xil  xos  qiymatli  normal  matritsa  bo’lsa,  u  xolda  A  bilan 
o’zaro o’rin almashinuvchi har bir matritsa normal bo’lishini isbotlang. 
5.
 
Agar JY=YJ va J=
𝜆𝐼
𝑛
+ 𝐻
𝑛
   bo’lsa, u xolda  
𝑌 = ‖‖
𝑦
1
        𝑦
2
      𝑦
3
  …   𝑦
𝑛
    0          𝑦
1
       𝑦
2
  …   𝑦
𝑛−1
…    …  … …     ….     … .
                            𝑦
1
     𝑦
2
0                … .        0          𝑦
1
 
‖
‖
 
 
ekanligini ko’rsating. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII.  BOB.   

---

 
162 
KVADRATIK FORMALAR VA ULARNING TADBIQLARI.