O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti
Yüklə 3,17 Mb. Pdf görüntüsü
|
| Misol. 7.3.
Umumlashgan koordinatalar sistemasida 2𝑥 2 − 2𝑦 2 − 3𝑧 2 − 10𝑦𝑧 + 2𝑥𝑧 − 4 = 0 (7.59) ikkinchi tartibli sirt tenglamasi va 2𝑥 2 + 3𝑦 2 + 2𝑧 2 + 2𝑥𝑧 = 1 (7.60) birlik sfera tenglamasi berilgan. (7.59) tenglamani bosh o’qlarga keltirish talab qilinadi. Bu holda 𝐴 = ( 2 0 1 0 −2 −5 1 −5 −3 ) , 𝐵 = ( 2 0 1 0 3 0 1 0 2 ) Dastaning xarakteristik tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: | 2 − 2𝜆 0 1 − 𝜆 0 −2 − 3𝜆 −5 1 − 𝜆 −5 − 3 − 2𝜆 | = 0 (7.61) Bu tenglama 𝜆 1 = 1, 𝜆 2 = 1, 𝜆 3 = −4 uchta ildizga ega. 𝜆 1 = 1 xarakteristik songa mos bosh vektor koordinatalarini 𝑢, 𝜗, 𝜔 bilan belgilaymiz. 𝑢, 𝜗, 𝜔 182 miqdorlarni koeffitsientlari (7.61) aniqlovchi elementlari bilan ustma-ust tushuvchi quyidagi sistemadan topamiz. 0 ∙ 𝑢 + 0 ∙ 𝜗 + 0 ∙ 𝜔 = 0 0 ∙ 𝑢 − 5 ∙ 𝜗 − 5 ∙ 𝜔 = 0 0 ∙ 𝑢 − 5 ∙ 𝜗 − 5 ∙ 𝜔 = 0 . Bundan, 𝜗 + 𝜔 = 0 𝜆 = 1 xarakteristik songa ikkita ortonormallangan bosh vektor javob berishi kerak. Birinchi vektor koordinatalarini ixtiyoriy ravishda 𝜗 + 𝜔 = 0 shartni qanoatlantiradigan qilib olamiz. Ularni 𝑢 = 0, 𝜗, 𝜔 = −𝜗 dek tanlaymiz. Ikkinchi bosh vektor koordinatalarini 𝑢 ′ , 𝜗 ′ , 𝜔 ′ = −𝑣 ′ dek tanlab, ortogonallik sharti (𝑧 ′ 𝑇 𝐵𝑧 2 = 0) ni yozamiz. 2𝑢𝑢 ′ + 3𝜗𝜗 ′ + 2𝜔𝜔 ′ + 𝑢𝜔 ′ + 𝑢 ′ 𝜔 = 0 Bundan, 𝑢 ′ = 5𝜗 ′ kelib chiqadi. Shunday qilib, ikkinchi bosh vektor koordinatalarini 𝑢 ′ = 5𝜗 ′ , 𝜗 ′ , 𝜔 ′ = −𝜗 ′ bo’ladi. Shuningdek xarakteristik aniqlochida 𝜆 = −4 deb olib, mos bosh vektor koordinatalarini 𝑢 ′′ , 𝜗 ′′ = −𝑢 ′′ , 𝜔 ′′ = −3𝑢 ′′ ko’rinishda aniqlaymiz. 𝜗, 𝜗 ′ 𝑣𝑎 𝑢 ′′ miqdorlar bosh vektor koordinatalari 𝑥 𝑇 𝐵𝑥 = 1 birlik sferani qanoatlantirishi kerak degan shartdan topiladi, ya’ni (7.60) tenglamadan topiladi. Bundan quyidagini topamiz: 𝜗 = 1 √5 , 𝜗 ′ = 1 3√5 , 𝑢 ′′ = − 1 3 Shuning uchun bosh matritsa quyidagicha bo’ladi, 183 𝑍 = ( 0 √5 3 − 1 3 1 √5 1 3√5 1 3 − 1 √5 − 1 3√5 2 3) mos koordinatalarni almashtirish 𝑥 = 𝑍𝜉 (7.59) va (7.60) tenglamalarni quyidagicha kanonik ko’rinishga keltiradi: 𝜉 1 2 + 𝜉 2 2 − 4𝜉 3 2 − 4 = 0 𝑣𝑎 𝜉 1 2 + 𝜉 2 2 + 𝜉 3 2 = 1. Birinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin 𝜉 1 2 4 + 𝜉 2 2 4 − 𝜉 3 2 1 = 1 Bu bir yaproqli aylanma giperboloid tenglamasi bo’lib, uning haqiqiy o’qi ikkiga, mavxum o’qi birga teng. Aylanish o’qi orti koordinatalari 𝑧 matritsa uchinchi ustunidan aniqlanadi, ya’ni ular − 1 3 , 1 3 , 2 3 ga teng. Qolgan ikkita ortogonal o’qlar koordinatalari birinchi va ikkinchi ustunlarda beriladi. Yüklə 3,17 Mb. Dostları ilə paylaş:
|