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Destes relatos, há uma forte indicação da utilização do desenho como sendo demonstração.  
 
O encontro destas duas categorias, explicação e visualização, passam pela concepção ingênua de 
prova como defendem alguns pesquisadores como Hanna (1990) e Balacheff (1999). Esta concepção de 
prova, embora resistente entre os matemáticos, acreditamos ser necessária, para que tenhamos uma 
efetiva construção do conhecimento numa abordagem sócio-histórico-cultural. 
 
Em resumo, a análise das respostas dos sujeitos evidenciam a presença dessa concepção ingênua 
da prova, quando as respostas falam em explicação e em visualização. 
 
Não bastando para nós o questionamento, procuramos nos apoiar em testes práticos expondo 
exemplos de demonstrações; isso nos parece ser essencial para uma melhor compreensão dos possíveis 
significados atribuídos pelos alunos à prova.  
 
Após o momento de encontro entre os sujeitos e as demonstrações tomadas como exemplos, foi 
procedida uma análise dos diversos significados apresentados por eles. 
 
Nesta instância de nossa análise, na busca dos significados dos nossos sujeitos sobre prova e 
demonstração, procuramos a imparcialidade a respeito do objeto estudado. Nesse sentido, passamos a 
identificar as unidades significativas encontradas nos relatos, ainda que subjetivas, dos nossos sujeitos: a) 
os estudantes desprezam a possibilidade de erros por meio do desenho e aceitam este como uma 
generalização da prova; b) os instrumentos (compasso, régua, transferidor e computador) são meios 
importantes para demonstrar; c) o exemplo é fundamental  para provar e generalizar uma afirmação; d) a 
narração pode ser considerada uma prova. 
 
Estas unidades nortearam-nos nas considerações finais desta pesquisa. Permitiram ainda focar, 
quais são os valores que estão presentes em seus significados. 
 
Retomando os significados apresentados através das respostas dos sujeitos ao questionamento, 
partimos para a instância última desta pesquisa, onde serão sintetizados os significados dos alunos 
pesquisados quanto a demonstração. 
 
Da análise dos significados da prova e demonstração sob as respostas dos nossos sujeitos, 
obtemos duas categorias principais: a 
explicação 
e a 
visualização.
 Esta relação nos forneceu subsídios 
para elaborarmos também algumas  subcategorias referentes aos significados das respostas dos nossos 
sujeitos, que foram classificados como: a) os estudantes desprezam a possibilidade de erros por meio do 
desenho e aceitam este como uma generalização da prova; b) os instrumentos (compasso, régua, 
transferidor e computador) são meios importantes para demonstrar; c) o exemplo é fundamental  para 
provar e generalizar uma afirmação e; d) a narração pode ser considerada uma prova
.
 
 
De posse das unidades significativas: desenho, instrumento, exemplo e narração extraída dos 
significados dos testes, elaboramos seus alinhamentos. 
 
Deste modo, a 
explicação 
e a 
visualização
 como significados, atribuídos pelos sujeitos 
pesquisados, tem o sentido de tornar claro ao outro algo que possa ser compreendido.  
 
Sob nosso ponto de vista, isto nos leva a considerar que nossos sujeitos quando relatam ou se 
referem ao 
desenho,
 sob a forma de elucidar ou expor à luz algo que não fora compreendido ou que visa 
ser compreendido, desejam, enfim, convencer o outro sob a forma da explicação. 
 
O caminho desvelado pelo desenho também nos permite obter os significados, atribuídos pelos 
sujeitos, sobre a importância dada aos 
instrumentos
 manuais como o compasso ou a régua, ou de mídia 
eletrônica como no caso do computador, o fato é que estes instrumentos são considerados, pelos sujeitos 
investigados, essenciais para demonstrar. 

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Nesta mesma linha do desenho está a 
narração
, entendida por nós como  forma de explicar a 
demonstração por meio da transcrição ou narrativa. Este processo escolhido ou elaborado pelo sujeito tem 
o propósito de convencer o outro sobre seus argumentos ou a sua impressão sobre o objeto a ser 
demonstrado. 
 
Destas reflexões a respeito do alinhamento das unidades significativas encontramos uma ligação 
entre elas. Esta ligação pode ser lida sob a forma do 
exemplo
, comum a todos os significados. 
 
5. Considerações finais 
 
Ao tecermos nossas considerações finais, ressaltamos que o principal interesse desta pesquisa, era 
a busca dos significados, que alunos do Curso de Licenciatura em Matemática atribuem à demonstração. 
Essa busca residiu na contextualização do objeto de estudo, a demonstração que embora, muitas vezes, 
ignorados pelos professores na formação inicial de professores em Matemática, concebemos como 
elementos essenciais os aspectos históricos e sociais da demonstração para uma efetiva abordagem 
deste objeto. 
 
Na formação de professores em Matemática, encontramos discordâncias discursivas dentro da 
própria Matemática: a pedagógica e a cientifica. Nos parece importante observar estas divergências do 
ponto de vista da epistemologia onde, os professores de Matemática desenvolvem compreensões sobre a 
demonstração, para que ela mesma tenha uma função mais significativa entre os estudantes. 
 
Nos é percebido que a grande dificuldade no ensino didático de uma demonstração está, 
intrinsecamente ligado a uma metodologia que faça aproximar os estudantes da prova matemática.  
 
Assim, sugerimos e apontamos para aspectos não-formalizados da demonstração. Estes aspectos 
têm a finalidade de que os estudantes produzam significados apropriados à demonstração. 
Mediante os argumentos acima apontamos para que, as demonstrações: 
(a)  sejam socializadas entre, professores e alunos; 
(b)  venham ser exploradas pelo uso do computador; 
(c)  sejam abordadas por formas “ingênuas” de prova. 
 
Exposto enfim, os argumentos finais acima delineados, que acreditamos termos atingidos os 
objetivos propostos inicialmente, ou seja, encontrarmos os significados que os alunos do curso de 
Licenciatura Matemática dão à demonstração e que concebem como: um 
exemplo
 seja ele dado por uma 
explicação (desenho, narração ou instrumentos), ou ainda, pela visualização (desenho), conduz-nos a um 
re-direcionamento teórico-metodológico, essencialmente na formação de professores em Matemática. 
 
6. Bibliografia 
BELL, A. W. 
A 
Study of pupils proof-explanations Mathematical situations. 
Educational Studies in 
Mathematics
, n. 7, p. 23-40, 1976. 
BALACHEFF, N. 
Es la argumentación un obstáculo?
 Invitación a un debate
.
 Web Newsletter, 1999. 
BICUDO, M. A. V.; GARNICA, A. V. M. 
Filosofia da educação Matemática
. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. 
(Coleção: Tendências em Educação Matemática). 
DE VILLIERS, M. D. Papel e funções da demonstração no trabalho com Sketchpad. 
Revista Educação e 
Matemática
. Lisboa: n. 63, p. 31-36, 2001. 
ERNEST, Paul. 
The philosophy of mathematics education
. London: Falmer Press, 1991. 

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