O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi
Teylor formulasining Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadi
Yüklə 443,86 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Teylor formulasining Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadi.
- 4-§. Ba`zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi e
| Teylor formulasining Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadi. Teylor formulasi Rn(x) qoldiq hadi yozilishining turli ko`rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko`rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan f(x) funksiya x0 nuqta atrofida n+1 –tartibli hosilaga ega bo`lsin deb talab qilamiz va yangi g(x)=(x-x0)n+1 funksiyani kiritamiz. Ravshanki, g(x0)=g`(x0)=...= g(n)(x0)=0; g(n+1)(x0)=(n+1)!¹0. Ushbu Rn(x)=f(x)-Pn(x) va g(x)=(x-x0)n+1 funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda Rn(x0)= Rn`(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 e`tiborga olib, quyidagini topamiz: , bu yerda c1Î(x0;x); c2Î(x0;c1); ... ; cnÎ(x0;cn-1); xÎ(x0;cn)Ì (x0;x). Shunday qilib, biz ekanligini ko`rsatdik, bu yerda xÎ(x0;x). Endi g(x)=(x-x0)n+1, g(n+1)(x)=(n+1)!, Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x) ekanligini e`tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo`lamiz: Rn(x)= , xÎ(x0;x). (3.8) Bu (3.8) formulani Teylor formulasining Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi. Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadni Rn(x)= (3.9) ko`rinishda ham yozish mumkin, bu yerda q birdan kichik bo`lgan musbat son, ya`ni 0<q<1. Shunday qilib, f(x) funksiyaning Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi kuyidagi shaklda yoziladi: f(x)=f(x0) + f`(x0)(x-x0) + f``(x0)(x-x0)2 + ... + f(n)(x0)(x-x0)n + , bu yerda xÎ(x0;x). Agar x0=0 bo`lsa, u holda x=x0+q(x-x0)=qx, bu yerda 0<q<1, bo`lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi f(x)=f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x2+ ... + f(n)(0)xn+ (3.10) shaklida yoziladi. Teylor formulasining Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadi. Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko`rinishlariga misol tariqasida Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun yordamchi funksiyani tuzib olamiz va [x0;x] segmentda uzluksiz, (x0;x) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo`lgan biror y(t) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo`llasak, (3.11) ko`rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin. Agar (3.11) formulada y(t) funksiya sifatida y(t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz: 4-§. Ba`zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi ex funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=ex funksiyaning (-¥;+¥) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f(k)(x)=ex, k=1, 2, ..., n+1. Bundan x=0 da f(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f(n+1)(qx)=eqx va f(0)=1 hosil bo`ladi. Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo`yib (4.1) bu yerda 0<q<1, formulaga ega bo`lamiz. 1-rasmda funksiya va P3(x) ko`phad funksiyaning grafiklari keltirilgan. Agar x=1 bo`lsa, (4.2) formulaga ega bo`lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin. 1-rasm Haqiqatan ham, faraz qilaylik, - ratsional son bo`lsin. Bunda e>1 bo`lganligi uchun p>q bo`ladi. (4.2) da desak, Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko`paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz: (4.3) Bu yerda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda q<1, p>q bo`lganligi uchun (4.4) bo`ladi. Shuningdek, n>p>q bo`lganligi uchun n! -butun son, chunki n! da q ga teng bo`lgan ko`paytuvchi uchraydi. Ravshanki, ko`rinishdagi yig`indi ham butun son bo`ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o`ng tomoni esa (4.4) ga ko`ra birdan kichik musbat son bo`ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo`ladi. Yüklə 443,86 Kb. Dostları ilə paylaş:
|